情報数理と微分幾何

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1.球面上のヤング・ミルズ接続のモ-ス指標を考え、その最良の評価式を得た。すなわちi(▽)≧m+1=dimS^mであり、これがベストである。2.指数的ヤング・ミルズ接続という新しい概念を着想し、その存在・構成・安定性について調べた。特に、ヘルダー連続となる指数的ヤング・ミルズ接続は常に存在することを示した。3.任意のリーマン多様体からリー群及び等質空間への調和写像の特徴付けを行い、3次元リー群及び対称空間への調和写像のうち、指数写像の積で得られるものを完全に決定した。この結果は、ロボット運動工学への著しい応用を持っている。4.4元数ケーラー対称空間上の等質ベクトル束上の双対接続の特徴付けを行い、決定した。すなわち、双対接続となる必要十分条件を対応するホロノミー準同型の言葉で記述した。5.道の空間上の対数的ソボレフ不等式が成り立つことを示し、その応用を得た。特にオルンシュタイン=ウーレンベック作用素が成り立つことを示した。6.一般のリーマン多様体上のループ空間について、ポテンシャル付きの対数ソボレフ不等式とスペクトル・ギャップを示した。特に、リーマン多様体Mのリッチ曲率が上・下に負の定数で押さえられているとき、グロス=ソボレフの作用素のスペクトルの評価を示した。