情報数理,グラフ理論そして微分幾何

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平成8年度においては、(1)無限グラフの離散ラプラス作用素のスペクトル、熱核、及びグリーン核を調べ、斉次等質樹木の場合にベストになるような一般的な評価を得た。更に、その応用として、種々の無限グラフのグリーン核を決定した。(2)ユークリッド空間の領域の場合に成り立つ固有値問題の離散版を考察した。境界を持った有限グラフについて、その離散ラプラス作用素に関するディリクレ境界値問題の第1固有値を考えるとき、辺の個数が一定という条件の下で、第1固有値が、最小となるものは、凧型グラフの場合に限るという、ファーベル・クラーン型の定理を得た。(3)確立微分方程式の解の安定性からリー群の第2基本群が消えるかという「エルウォーシ-・ローゼンバークの問題」について、断面曲率評価定理とラプラス作用素の第1固有値ピンチング定理を得、それらを使って、コンパクト・リー群のなかで彼らの主張する不等式を満たすものは、2次特殊直交群のみであることを示し、彼らの問題を否定的に解決した。(4)四元数対称空間上の等質ベクトル束上の等質ヤング・ミルズ接続がいつ自己双対となるかホロノミー表現を用い群論的手法により決定した。これは、4次元の伊藤光弘の等質ヤング・ミルズ接続に関する定理の高次元四元数対称空間への拡張である。(5)ターゲットがリー群や等質空間となる調和写像の特徴付けについて、リー代数の間に引き起こされる写像を用いて決定できるという定理を得た。その応用として、リー群の間の準同型写像から引き起こされるリーマン対称空間の間の調和写像の特徴付けが与えられる、調和写像の例が豊富に構成されること、また、3次元リー群の場合の調和写像の分類定理を得た。(6)ラプラス作用素のスペクトル理論とグラフの離散ラプラス作用素のスペクトル理論との間に興味ある対応関係があり、両者の理論の間には強いアナロジーが成立する。微分幾何学とグラフ理論の相互の連関を解明し未解決問題を提示し、その成果を単行本として発表した。