関数解析的方法における非線型波動方程式の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

抽象的非線形発展方程式をHilbert空間で考えるとき、解を考察する空間が大切である。この空間として、弱い解と強い解の間に存在すると考えられる、無条件連続な関数空間を考察した。まず、線形の場合 fがL^1(O,T:H)に属していて du/dt+Au=f,u〈O〉=aの方程式の弱い解は、du/dtはL^1〈O,T:H〉には属さないが u は無条件連続になっていることが解った。これを遅れのある、ある条件を満たす微分積分非線形方程式に応用し、その方程式の解の存在と一意性を示すことができた。いま論文作成中である。また非線形波動方程式においてはこの解を上記を満たす解で考えることによって、弱解の正則性を少しあげることに役立ち、解の一性の問題に適用できないかと考察中である。また時間的遅れをもつ非線形発展方程式の一つのモデルとして考えられる走化性粘菌生物モデルを研究した。このモデルには極をもつ項が含まれているために 楕円型境界値問題での極をもつ解の定義と存在一位性が問題になりそれについて考察し発表した。このモデルは粘菌の集合体の境界をきめる自由境界値問題となっていおり、非線形発展方程式となっている。この問題を well posed とするような実際に即した自由境界条件はなにかを考察中である。この問題のなかには Navier Stokes equation の自由境界値問題も含まれ興味深い問題設定になっているとおもう。ただし、時間遅れをもたない簡単な自由境界値問題の場合には、境界の形の決定、解の存在、一意性共に考察が終わっている。