関数解析的方法方法による非線型波動方程式の研究

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時間遅れを持つ非線形波動方程式(1)d^2u(t)/dt^2+∂Φu(t)+∂Ψu(t-h)+∫^0_<-h>a(-s)∂Φu(s+t)ds∋fを実ヒルベルト空間H(L^2(Ω))で考える。ここでΦ、ΨはHから(-∞,∞)への下半連続な凸関数でその劣微分を∂Φ、∂Ψと表わしている。しかしこのままの非線型で考えるのは大変難しいので、まず線型の場合を考えた。すなはちAを自己共役な正値線形作用素、A_1を線形閉作用素(A⊂A_1)とし、∂Φ=A、∂Ψ=A_1としたとき上記の解の存在と一意性を調べた。遅れを持つ作用素や外力f、初期値u(0)=a,(du/dt)(0)=bがA_nのn乗巾の領域に入っていることと(1)の解の存在域との関係がはっきりしてきた。また非斉次項fの微分可能性と解の存在域との関係も同様にわかってきた。これらから線型方程式の場合の解の存在と一意性についての十分条件が(ほぼ必要条件)見つかったと思う。今原稿の作成中である。また非線型方程式については∂Ψ(X)のnormがΦ(X)で押えられるなら解の存在はいうことができた。しかしいまだ満足するものではなくいましばらく研究を要すると思う。また遅れを含む方程式という観点から、遅れを含む非線型拡散方程式du(t)/dt+∂Φu(t)+∂Φu(t-h)+∫a(-s)∂Φu(s+t)ds∋fにつても調べた。fがL_1(0,T;H)に含まれているとき、今までにわかっていた連続解よりは滑らかな無条件連続な解を見つけることができた。ただしΦには適当な仮定が入る。しかしこの仮定は線型の場合は無条件に成るような仮定である。またこの場合の方程式は生物モデルも含んでいるので、生物モデルに現われる楕円形方程式についても調べた。すなはち一点で特異性を持つ楕円型方程式の解の一意性についてである。