Innovation of singularity theory of mappings and new development of topology

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近年，接触構造，シンプレクティック構造，Stein構造などの幾何的構造を本質的に取り入れることで，トポロジー，特に低次元の幾何的トポロジーにおいて，著しく重要で斬新な結果が多数得られている．本研究では，そうした強力な幾何的アイデアや，低次元トポロジー固有の豊かな理論を写像の特異点論の世界に持ち込むことで，既存の概念・定式化・手法を革新し，特に大域的な特異点論の飛躍的発展を図ることが目的であった．さらにそうした研究を通して，トポロジーに写像の特異点論から新しい道を切り開き，重要な諸問題の解決を図ることで新研究領域を創成し，学問分野としてのトポロジーに新たな展開をもたらすことも目的とした．そのため本年度は，まず多様体対からの安定写像の特異ファイバーについて，佐伯と山本が共同研究を行い，3次元多様体と曲面からなる多様体対から曲面への安定写像に対する特異ファイバーの分類定理をまず得た．そして，その応用として普遍複体のコホモロジー群を低い次元に対して計算し，ある種の同境群の非自明性を示すことに成功した．こうした，多様体対上の写像の同境に関する研究はこれまでにまったくなく，斬新な結果であると言える．またこうした研究は多値関数のデータ可視化にも応用の可能性があり，そういった観点から，多数目的最適化理論への特異点論の応用の可能性も含めて議論を行い，今後の研究の新たな方向性を見出すことができた．これも今回の研究の大きな成果の一つと言える．一方，4次元多様体上のレフシェッツ束，特に超楕円的レフシェッツ束について，これまでにない新しい不変量を遠藤と鎌田が開発し，チャートの手法を駆使することで，二つの超楕円的レフシェッツ束が安定的に同値となるための必要十分条件を発見することに成功した．これも今後につながる大きな成果であった．