Analysis of dynamic singularities in parabolic partial differential equations

抛物型偏微分方程的动态奇点分析

• 批准号: 22H01131
• 负责人: 柳田 英二
• 金额: $ 10.73万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22H01131/
• 关键词: 特異性; 放物型偏微分方程式; 反応拡散方程式; ブラウン運動; 臨界指数; 偏微分方程式; 放物型; 非線形熱方程式; 可解性; 動的特異点; 拡散

一次元非線形熱方程式において，移動する特異点の近傍で拡散効果が退化する場合について研究を進め，初期値問題の解の存在と一意性のための十分条件を明らかにした．また，特異点近傍での解の漸近形状が特異点の移動速度に依存することを示し，さらにはburning coreの形成，特異進行波の存在と漸近安定性，解の長時間挙動，時間大域解の存在についても明らかにした．また，べき乗型の吸収項をもつ熱方程式について考察し，動的特異点のヘルダー連続性に関する指数が1/2よりも大きい場合には，解の特異性の強さは特異点が静的である場合と同等であるが，1/2未満の場合には動く向きに応じて特異性の強さが変化することを突き止めた．高次元Fast diffusion方程式に対しては，特異点近傍で異方性を持つ解を構成し，幾何学への応用として，非コンパクト山辺流の解の完備性の破れに関する結果を得た．また，Sobolev優臨界な半線形熱方程式に対し，解が爆発するときにその臨界ノルムも同時に爆発することを示した．FitzHugh-Nagumo型の反応拡散系の特異極限として現れる自由境界問題は，一般の初期値に関しては適切な問題となっていない．初期値に条件を付けることで適切な問題となる．弱解を定義することで，時間大域的な解の存在を示し，全域解の特徴付けを行った．また，面積保存流の定常解についても調べた．多次元整数格子上の単純ランダムウォークあるいはその連続時間対応であるブラウン運動について，到達確率あるいは局所時間の評価や熱方程式との関連について解析を進めた。具体的にはHardy-typeのポテンシャル項にブラウン運動の動きをする動的特異点をつけた熱方程式について，解の存在・非存在に関する評価を確率解析の手法を用いて研究を進めた．

我们已经对一维非线性热方程中移动奇异点附近退化的扩散效果进行了研究，并阐明了对初始值问题的解决方案的存在和独特性的足够条件。我们还表明，近距离点附近的溶液的渐近形状取决于奇异点的移动速度，还揭示了燃烧核心的形成，奇异行进波的存在和渐近稳定性，溶液的长期行为以及时间全局溶液的存在。我们还使用功率类型的吸收术语检查了热方程，并发现当动态奇点的Helder连续性指数索引大于1/2时，解决方案的奇异性的强度与奇异性的强度相当于静态，但是当奇异的强度依赖于奇异性的变化时，依赖于运动的强度就会变化。对于高维快速扩散方程，在单数点附近构建各向异性，作为几何应用，在非紧密Yamabe流的溶液的完整性中分解了结果。我们还表明，对于Sobolev的优势临界半线性热方程，当解决方案爆炸时，其临界标准也会同时爆炸。 Fitzhugh-Nagumo型反应扩散系统中似乎是单一限制的自由边界问题不是一般初始值的适当问题。将条件添加到初始值会产生适当的问题。通过定义弱解决方案，我们显示了时间全球溶液的存在，并表征了整体溶液。我们还研究了面积存储流的稳态解决方案。我们分析了多维整数晶格上的简单随机步行或其连续时间的布朗运动，以及其与热方程式的关联。具体而言，我们使用概率分析方法进行了研究，以评估热方程的存在和缺失，其中Hardy Type的潜在项具有导致Brownian运动的动态奇异性。

项目成果

Convergence to a traveling wave in the logarithmic diffusion equation with a bistable nonlinearity

具有双稳态非线性的对数扩散方程中行波的收敛

• 发表时间: 2022
• 期刊: Indiana University Mathematics Journal
• 影响因子: 1.1
• 作者: Hiroshi Matsuzawa;Harunori Monobe;Masahiko Shimojo;Eiji Yanagida
• 通讯作者: Eiji Yanagida

Anisotropic and isotropic persistent singularities of solutions of the fast diffusion equation

• DOI: 10.57262/die035-1112-729
• 发表时间: 2021-11
• 期刊: Differential and Integral Equations
• 影响因子: 1.4
• 作者: M. Fila;Petra Mackov'a;J. Takahashi;E. Yanagida

Blow-up of the critical norm for a supercritical semilinear heat equation

• 发表时间: 2022-06
• 作者: H. Miura;J. Takahashi