Analysis of dynamic singularities in parabolic partial differential equations

抛物型偏微分方程的动态奇点分析

• 批准号: 22H01131
• 负责人: 柳田 英二
• 金额: $ 10.73万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22H01131/
• 关键词: 特異性; 放物型偏微分方程式; 反応拡散方程式; ブラウン運動; 臨界指数; 偏微分方程式; 放物型; 非線形熱方程式; 可解性; 動的特異点; 拡散

一次元非線形熱方程式において，移動する特異点の近傍で拡散効果が退化する場合について研究を進め，初期値問題の解の存在と一意性のための十分条件を明らかにした．また，特異点近傍での解の漸近形状が特異点の移動速度に依存することを示し，さらにはburning coreの形成，特異進行波の存在と漸近安定性，解の長時間挙動，時間大域解の存在についても明らかにした．また，べき乗型の吸収項をもつ熱方程式について考察し，動的特異点のヘルダー連続性に関する指数が1/2よりも大きい場合には，解の特異性の強さは特異点が静的である場合と同等であるが，1/2未満の場合には動く向きに応じて特異性の強さが変化することを突き止めた．高次元Fast diffusion方程式に対しては，特異点近傍で異方性を持つ解を構成し，幾何学への応用として，非コンパクト山辺流の解の完備性の破れに関する結果を得た．また，Sobolev優臨界な半線形熱方程式に対し，解が爆発するときにその臨界ノルムも同時に爆発することを示した．FitzHugh-Nagumo型の反応拡散系の特異極限として現れる自由境界問題は，一般の初期値に関しては適切な問題となっていない．初期値に条件を付けることで適切な問題となる．弱解を定義することで，時間大域的な解の存在を示し，全域解の特徴付けを行った．また，面積保存流の定常解についても調べた．多次元整数格子上の単純ランダムウォークあるいはその連続時間対応であるブラウン運動について，到達確率あるいは局所時間の評価や熱方程式との関連について解析を進めた。具体的にはHardy-typeのポテンシャル項にブラウン運動の動きをする動的特異点をつけた熱方程式について，解の存在・非存在に関する評価を確率解析の手法を用いて研究を進めた．

A one-dimensional nonlinear heat equation is proposed. The solution of the initial value problem exists. The solution of the initial value problem exists. The solution of the initial value problem exists. The asymptotic shape of the solution near the singular point depends on the moving velocity of the singular point, the formation of the burning core, the existence of the singular progressive wave, the asymptotic stability, the long-time fluctuation of the solution, and the existence of the time-domain solution. In addition, the absorption term of the heat equation of the type of The high dimensional Fast diffusion equation is related to the construction of anisotropic solutions near singular points, and the application of geometric theory to the completeness of solutions of non-uniform flow is obtained. Sobolev's optimal critical semi-linear heat equation is solved by solving the critical and simultaneous explosion problems.FitzHugh-Nagumo type anti-dispersion systems are presented with special limits. Free boundary problems are solved by general initial problems. The initial conditions are appropriate. Weak solutions are defined, the existence of solutions in large time domains is demonstrated, and the characteristics of global solutions are determined.また，面积保存流の定常解についても调べた. Multi-element integer lattice on the single pure color, color. The specific Hardy-type of the term, the motion of the specific point, the heat equation, the existence of the solution, the non-existence of the solution, the evaluation of the accuracy of the analysis method, the use of research.

项目成果

Convergence to a traveling wave in the logarithmic diffusion equation with a bistable nonlinearity

具有双稳态非线性的对数扩散方程中行波的收敛

• 发表时间: 2022
• 期刊: Indiana University Mathematics Journal
• 影响因子: 1.1
• 作者: Hiroshi Matsuzawa;Harunori Monobe;Masahiko Shimojo;Eiji Yanagida
• 通讯作者: Eiji Yanagida

Anisotropic and isotropic persistent singularities of solutions of the fast diffusion equation

• DOI: 10.57262/die035-1112-729
• 发表时间: 2021-11
• 期刊: Differential and Integral Equations
• 影响因子: 1.4
• 作者: M. Fila;Petra Mackov'a;J. Takahashi;E. Yanagida

Blow-up of the critical norm for a supercritical semilinear heat equation

• 发表时间: 2022-06
• 作者: H. Miura;J. Takahashi