グラフ上の非線形拡散系のダイナミクス

图上非线性扩散系统的动力学

• 批准号: 13874014
• 负责人: 柳田 英二
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2003
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-13874014/
• 关键词: グラフ; 非線形; 拡散; 反応拡散系; 偏微分方程式; 安定性; 変分問題; 固有値問題; 3重結合; 極限方程式; 界面; 定常解; 歪勾配系; 拡散系

グラフ上で定義される各種の非線形系のダイナミクスについて研究を行った.特に,グラフの幾何学的,位相的性質がダイナミクスとどう関わっているかについて考察した.研究対象となる非線形系としては,平均曲率流に従う界面ダイナミクス,反応拡散方程式および,べきの形の非線形項を含む放物型あるいは楕円型方程式が考えられるが,本年度は特に,3重結節点を持つ界面のダイナミクスについて調べ,以下のような成果を上げた.まず,3重結節点を持つ平均曲率流に対し,定常界面の安定性に関する理論的,数値解析的検討を行った.2個の3重結節点を持つ界面に対しては,前年度の研究によってその安定度を定める特性関数を導いたが,今年度は多数の3重結節点を持つ界面に対して同様の結果が得られるかどうかについて考察し,特性関数の具体形を決定することに成功した.また,この特性関数の符号と境界の曲率の符号から不安定次元を与える公式を導いた.さらに数値シミュレーションの結果と比較検討した.次に,与えられた領域において,定常状態が存在するための条件について調べた.これは古典的なFermat-Steiner問題と関係する興味深い変分問題であるが,境界条件の違いから自由度の高い難しい問題となる.一般の領域では不十分な結果しか得られなかったが,凸領域においては少なくとも1個の定常状態の存在を示すことに成功した.また,この結果が複数の3重結節点を持つ場合にも拡張されることを示し,存在を示す過程において,自然に不安定次元が計算できることを明らかにした.さらに,定常解が存在するための条件が持つ幾何学的意味について明らかにした.

The definition of various non-linear systems and the study of them. In particular, the geometry of the phase, the nature of the phase, is investigated. The object of this study is non-linear system, mean curvature flow, interface, inverse dispersion equation, non-linear term of shape and form, including matter type, inverse dispersion equation, this year's special, 3-fold junction node, interface, interface, inverse dispersion equation, the following results are presented. In the previous year's study, the stability of the steady state interface was determined by the characteristic parameters of the steady state interface. In this year's study, the stability of the steady state interface was determined by most of the steady state interface. The specific shape of the characteristic number determines the success of the project. The sign of the characteristic relation number and the sign of the curvature of the state are derived from the formula of the unstable dimension. The results of this study were compared with those of the previous study. Second, with the domain, the steady state exists and the condition is adjusted. The classical Fermat-Steiner problem is a problem of deep interest and high difficulty in boundary conditions. In general, the domain is not very successful, but in convex domain, there are only a few steady states. The result of this is that there are multiple triple junction nodes in the presence of a process, and naturally unstable dimensions are calculated. The condition for the existence of a steady state solution is geometric.

项目成果

E.Yanagida: "Standing pulse solutions in reaction-diffusion systems with skew-gradient structure"J.Dyn.Diff.Eqs.. 4. 189-205 (2002)

E.Yanagida：“具有斜梯度结构的反应扩散系统中的常压脉冲解”J.Dyn.Diff.Eqs.. 4. 189-205 (2002)

H.Myogahara, E.Yanagida, S.Yotsutani: "Structure of positive radial solutions for semilinear Dirichlet problems on a ball"Funkcial.Ekvac.. 45. 1-21 (2002)

H.Myogahara、E.Yanagida、S.Yotsutani：“球上半线性狄利克雷问题的正径向解的结构”Funkcial.Ekvac.. 45. 1-21 (2002)

R.Ikota, E.Yanagida: "A stability criterion for stationary curves to the curvature-driven motion with a triple junction"Differential and Integral Equations. 16. 707-726 (2003)

R.Ikota，E.Yanagida：“具有三联点的曲率驱动运动的平稳曲线的稳定性准则”微分方程和积分方程。

P.Polacik, E.Yanagida: "On bounded and unbounded global solutions of a supercritical semilinear heat equation"Mathematisch Annalen. 327. 745-771 (2003)

P.Polacik，E.Yanagida：“关于超临界半线性热方程的有界和无界全局解”Mathematisch Annalen。

N.Mizoguchi, E.Yanagida: "Life Span of Solutions for a Semilinear Parabolic Problem with Small Diffusion"J. Math. Anal. Appl.. 261. 350-368 (2001)

N.Mizoguchi，E.Yanagida：“小扩散半线性抛物型问题解的寿命”J。