量子論的および相対論的ソリトン方程式とその解の代数構造

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本研究の1つの目的である量子論的拡張については、とくに2次元戸田分子方程式のq離散化を考察し、以下の結果を得た。まず、ソリトン方程式の双1次形式は行座式などの恒等式に他ならないという事実を利用してq離散化2次元戸田分子方程式を導き、解を陽に構成した。解は2つの独立変数の任意関数を含んだ形で与えられる。また、解の構造に着目し、q離散化2次元戸田分子方程式に対するベックルンド変換およびラックス対を構成した。今後、双1次形式から得られた方程式の代数構造、とくに量子郡との関係を探ることが1つの課題である。また、得られた結果はパンルベオ方程式のq離散化の可能性を示唆しており、その方向の研究も進めつつある。もう一つの目的である相対論的拡張については、半離散的な戸田格子方程式および連続的なブラウアー・カウプ方程式を考察し、以下の結果を得た。相対論的戸田格子方程式は双1次形式で表すと、戸田方程式それ自身、戸田方程式のベックルンド変換、完全離散戸田方程式の3つに分解できることを示し、その結果からカソラチ行可式で表される解を導びいた。また、相対論的戸田方程式とその解について非相対論的極限を調べ、光速に相当するパラメータの役割を明らかにした。さらに、ブラウンアー・カウプ方程式のソリトン解が、i)速度が任意である、ii)ソリトンの分裂や融合を起こす可能性がある、という興味深い性質をもっていることを示した。上記の結果は物理的に重要なさまざまなソリトン方程式の相対論的拡張が可能であることを示唆しており、目下その方向の研究も進めつつある。本研究と関連して、完全離散型の可積分系について考察し、とくに特異性の閉じ込めの概念を用いて離散型非線形方程式の可積分の検証、離散型パンルベ方程式の導出も行なった。