高次元ソリトンの挙動に関する研究

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本研究の主なテーマは、高次元ソリトン方程式の解の挙動を解析的および数値的に調べること、およびその結果に基づき方程式の解の数学的な構造を明らかにすることである。この2つのテーマおよび関連した研究対象について以下の結果を得た。1.広田の方法を用いて、プラズマ中の波動や光ソリトンの伝搬を記述する高次の非線形項・分散項をもつ非線形シュレディンガー方程式の厳密解を得た。とくに、双1次形式に移行する際、新しい変数変換を提案し、その結果を利用して非線形シュレディンガー方程式の解との構造の差異を議論した。この成果は空間2次元のソリトン方程式であるDavey-Stuartson方程式の解の構造の究明に有用であると考えられる。2.数値計算における固有値を求めるアルゴリズムとソリトン方程式の関係を議論し、新しい型の長距離相互作用を持つロトカボルテラ方程式を導いた。またその解の構造について、やはり広田の方法を用いて検討した。得られた結果は高次元の場合を含む離散系におけるソリトンの伝搬に関する新しい知見を与えている。また、ソリトン方程式のヒエラルキーについて、これまで知られているものと別の角度からの解釈を提出している。ソリトン方程式の相似変換によって得られるパンルヴェ方程式を離散化したものに対して、厳密解を構成するとともに、その代数構造、様々な解析手法との関連について議論した。パンルヴェ方程式は非線形波動の漸近挙動を考察する際に現れる非線形形常微分方程式であり、得られた結果はとくに離散ソリトンの性質の検討に役立つと考えられる。