高次元ソリトン方程式の解析

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本研究の目的は、あるクラスの高次元ソリトン方程式について、解の挙動を解析的および数値的に調べることにより、その数学的な構造を明らかにし、ソリトン理論の拡張をはかることである。この目的に対して以下の成果を得た。1.磁場がかかったプラズマ中のイオン波の高次元挙動を調べ、その系がDavey-Stewartson方程式で記述されること、またあるパラメータ領域でドロミオン解を持つことを明らかにした。この結果はプラズマ中における高次元局在波の存在可能性を指摘したもので、応用上重要であるだけでなく、理工学の広い分野で同様の高次元波の存在を期待させる契機を与えるものである。2.2次元戸田方程式と関連して、適当なリダクションのもとでのその解が、離散型パンルヴェ方程式の解と密接に関係することを明らかにした。格子型の解は連続極限で特殊関数解に移行するのに対して、分子型の解は連続極限でその構造が壊れてしまうが、この結果は離散系におけるソリトン理論に新しい知見を与えるものである。3.2成分KPヒエラルキーに含まれる非線形シュレディンガー型方程式および微分型非線形シュレディンガー方程式に対して、その双線形構造を調べ、解空間に対する考察を行った。その結果、解空間の対称性がアフィン・リー環で明瞭に表されること、また物理的な解に要請される条件がアフィン・リー環の実形と密接に対応していることを示した。この結果はソリトン方程式および解の代数構造についてやはり新しい知見を与えるものである。