非線形微分方程式の超離散化と工学システム

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本研究は「超離散化の手法を用い、離散工学システムに対する微分方程式の解析手法の適用可能性を考察すること、および逆超離散化法を開発することにより、離散工学システムに対応する連続系を構成し、元のシステムに対して従来と異なる立場からの理解を図ること」を目的とし、それに関して本年度は以下の研究成果を得た。1.フラクタルパターンのような複雑な解をもつセルオートマトンに対し、対応する非線形結合型偏差分方程式および偏微分方程式を構成する手法を提案するとともに、数値計算により、その妥当性を検証した。これは研究目的に対して一定の結果を与えていると同時に、今後より広いクラスの離散システムに適用できる可能性を示唆するものである。2.非自律離散KP方程式の超離散極限として得られる周期的セルオートマトンについて、保存量の構造を考察し、連続系における対称性と超離散系における対称性の関係を明らかにした。この結果は連続系・超離散系の相互連関に新しい知見を与えるものである。3.新しいタイプの超離散サインゴルドン方程式を構成し、それがソリトン的な解を持つセルオートマトンとなることを示した。この結果は、可積分系の場合、連続系と超離散系に明確な関係があることを示したものである。4.疫学におけるSIRモデルの拡張版を提出するとともに、その離散化・超離散化を行った。また、具体的な数値計算により拡張の妥当性を検証した。これらの結果は非可積分系においても超離散化が有力な手法となることを示すものである。