モノドロミー保存変形のWKB解析

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この研究では大きなパラメータをもつ2階線型常微分方程式の標準型を与えた.大きなパラメータηを持つ次のような2階線型常微分方程式を考える:(1)(].SU.[)ここにQ(x^^〜,η)=Σ^∞_<i=0>η^<-i>Q_i(x^^〜)は正則関数を係数とするη^<-1>についての形式級数である.このような方程式は線型微分方程式のモノドロミー保存変形をexactWKBanalysisの立場から考えるとき自然に現れる.次のふたつの場合を考える.第一はこの方程式がただ一つの単純変わり点を持つ場合であり,第二はStokes曲線で結ばれるようなちょうど二つの単純変わり点を持つ場合である.ここに,(1)の変わり点とはQ_0の零点を意味する.第一の場合には,(1)のWKB解ψ^^〜と大きなパラメータを持つAiry方程式(2)(].SU.[)のWKB解を関係づける形式的座標変換x=x(x^^〜,η)が存在する.いいかえるとこれは(1)の形の方程式で単純変わり点がただ一つの場合の局所的な標準型である.第二の場合次のようりWeber型の方程式を標準型としてとれる:(3)(].SU.[)ここにE(η)はηの定数係数の形式級数で各係数はQから定まる.WKB解のBorel変換をとる事によりこれらの結果は(1),(2),(3)に対応するmicro differential operatorsの変換という形に言い換えられる.この事実によりexact WKB analysisと超局所解析の関係が明らかになる.これらの結果の応用として(1)の単純変わり点のまわりでのWKB解の接続公式を得る事ができる.それはexact WKB analysisによりモノドロミー保存変形を研究する際重要な役割を果たすであろう.