周期的シュレディンガー方程式の断熱摂動の代数解析

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周期的シュレディンガー方程式の断熱摂動の形式解,あるいは漸近解を構成する際,多重スケール解析の方法が重要な役割を果たす.この方法は線型微分方程式のみならず,様々な特異摂動的非線型微分方程式でも有効である.多重スケール解析による形式解の構成においては各々ステップで非斉次の線型微分方程式を解くためにそれぞれのステップで任意定数の不定性が生じる.従って形式的には無限個の任意定数が入り,形式解は見かけ上著しく複雑な形を持つのみならず,各ステップで新たな「永年項」(secular term)を生み出し,漸近解という立場から見ると近似の一様性が損なわれるかに見える.そもそも「二重スケール」でなくて「多重スケール」と呼ばれる一つの理由は,この困難を解消するために逐次新しいスケールを導入することによる.本研究では,上で述べたような任意定数依存性を解析し,実質的には形式解の初項にのみ任意定数を許し,第2項以下は適当な意味で任意定数を0と思ったものを考えれば十分であることを明らかにした.即ち,このようにして得られた形式解の任意定数を微小パラメータの定数係数無限級数で置き換えたものが各ステップで任意定数をいれて構成した形式解と同等であることを示した.これは多重スケール解析を用いる形式解の構成が実は二重スケールで十分であることを示している.