葉層構造をめぐる大域解析の研究

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主要な研究テーマとして取り上げているのは多様体の幾何学的構造のうち葉層構造,シンプレクティック構造,接触構造,スピン構造,ツゥイスター空間およびそれらに付随する不変量の研究である。研究代表者は従来続けてきた葉層構造の特性類の研究の成果として,これらの特性類が多様体の微分同相群のリーマン計量の空間あるいは接続の空間への作用と密接にかかわりあっていることを認識して投稿中の論文(Characteristic classes of foliatrions and the group cocycles of Diff F)においてそれをまとめた.その結果,多様体の微分同相群の抽象群としてのコホモロジーを表すコサイクルが,かなり具体的に記述されることとなった.これらは古典的なサーストンやボットの結果の拡張でもあるが,上に述べたようにそれらが無限次元の空間への群の作用という幾何学的な内容と結びついているところに特徴がある.一方,研究分担者は掲載予定の論文(Spin^q structures)において概四元数多様体に適したスピン構造の変形物,Spin^q構造(q=quaternionic)を導入した.よく知られたSpin^cがSpin群をU(1)でねじったものであるのに対して,Spin^qはSpin群をSp(1)でねじったものである.Spin^q群の表現,概四元数構造の導く標準的Spin^q構造,Spin^qベクトル束,Dirac作用素,その指数,等,を論じている.さらに,投稿中の論文(Spin^q,twistor and Spin^c)では,Spin^q構造の導くツゥイスター空間を導入し,その空間が自然なSpin^c構造を持つことが示されている.さらにDirac作用素たちの指数の関係,エータ不変量の断熱極限,等を論じている.本課題の遂行にあたり,代表者と分担者は機会をもうけて共通のテーマに関して議論し意見の交換を行った.