非可換有限幾何

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この研究では組み合わせ論的な有限幾何の量子化を作用素環を使って行うことを考えた。Connesは作用素環を使ってリーマン幾何の量子化に成功した。しかし未だ誰も有限幾何の量子化には成功していない。有限幾何の典型的な例として有限体上の射影幾何がある。これはもちろん公理論的な取り扱いがなされている。一方今世紀のかなり昔にvon Neumannは射影幾何の構造が射影空間の部分空間のなす束によって決定されることから、ある種の作用素環の射影のなす束をつかって連続的な射影幾何(いわゆる連続幾何)を導入することに成功した。ところで研究代表者は最近までJonesによって始められたsubfactorの理論を研究していたのであるが、その過程でsubfactorが射影の量子化にあたっているとみなせることに気が付いた。それはいわゆるJones射影子で関連が明示されるにいたったといえよう。そこで本研究ではintermediate subfactorsのなす束を射影全体の作る束の量子化とみなし、これを射影空間の量子化みなすという萌芽的なアイデアを発展させようと試みた。今回の研究では、2個以上のsubfactor達が織りなす相互関係の生み出す有限離散構造を、組合わせ論の立場から探求した。特にintermediate subfactorsのなす有限束を調べた。Subfactor N \$subset\Mが既約であるという仮定のもとに、MとNの間にあるintermediate subfactorsの全体は束をなす。この束の構造をJones index〔M:N〕が有限の時に調べた。特にどのような束がこのようにして実現されるかを考えた。組み合わせ論にでてくる直交するラテン方陣の存在は射影幾何の存在と関係があることはよくしられている。ところでラテン方陣の直交性は、作用素環のcommutaing squareを使って記述できる。そこでsubfactorにたいしてもラテン方陣の類似を導入できる。この時古典的な場合と同じような個数の評価ができるかを考えた。