指数定理を用いたスカラー曲率やその周辺に関する多様体上の解析についての研究

2006年の B. Hanke と T. Schick による仕事である、低次元のコホモロジーに対する強Novikov予想の結果を、離散とは限らない群の自由とは限らない作用に拡張することに成功した。まず、考えている状況はユニモジュラーな局所コンパクト・ハウスドルフ群が、多様体にproper かつ co-compactに作用している状況である。このとき、楕円型作用素であらわされる多様体の同変 K-ホモロジーの元が、「２次以下のコホモロジーとのペアリングが非自明である」という仮定を満たすとき、その指数写像の像が非ゼロであるという結論である。また特に、系として低次元のコホモロジーに対するGromov-Lawson-Rosenberg予想の結果を得た。G-不変な正スカラー曲率を持つ多様体の、higher A-hat genus と呼ばれる、或る特性類の積分が直線束に対しては必ず消えるという定理である。閉多様体の場合は、それはつまり離散群が自由に作用している場合を意味するが、1999年の V. Mathaiの仕事である。本来、higher A-hat genus は閉多様体に対して定義されていた概念だが、2014年の H. Wang のL2-index theoremを用いて、今回のような離散とは限らない群が proper かつ co-compact に作用している場合にも定義を拡張した。主要なアイデアは、almost flat bundles を組み合わせて flat bundle を構成し、それでひねったDirac作用素の指数と元の指数を関連付けるという B. Hanke と T.Schick による議論の再構成である。これにより、離散とは限らない群の群C*環に値を持つ指数を読み取ることが可能になった他、B. Hanke と T. Schick のもとの議論では不可能であった、reduced 群C*環のK群に値をとる指数写像にも適用可能となった。同様に B.Hanke の次の結果「K-areaが無限大ならば、maxiaml 群C*環に値を持つ Rosenberg index が非ゼロである。」を reduced 群C*環に対しても拡張可能となった。

2006年の B. Hanke と T. Schick による仕事である、低次元のコホモロジーに対する強Novikov予想の結果を、離散とは限らない群の自由とは限らない作用に拡張することに成功した。まず、考えている状況はユニモジュラーな局所コンパクト・ハウスドルフ群が、多様体にproper かつ co-compactに作用している状況である。このとき、楕円型作用素であらわされる多様体の同変 K-ホモロジーの元が、「２次以下のコホモロジーとのペアリングが非自明である」という仮定を満たすとき、その指数写像の像が非ゼロであるという結論である。また特に、系として低次元のコホモロジーに対するGromov-Lawson-Rosenberg予想の結果を得た。G-不変な正スカラー曲率を持つ多様体の、higher A-hat genus と呼ばれる、或る特性類の積分が直線束に対しては必ず消えるという定理である。閉多様体の場合は、それはつまり離散群が自由に作用している場合を意味するが、1999年の V. Mathaiの仕事である。本来、higher A-hat genus は閉多様体に対して定義されていた概念だが、2014年の H. Wang のL2-index theoremを用いて、今回のような離散とは限らない群が proper かつ co-compact に作用している場合にも定義を拡張した。主要なアイデアは、almost flat bundles を組み合わせて flat bundle を構成し、それでひねったDirac作用素の指数と元の指数を関連付けるという B. Hanke と T.Schick による議論の再構成である。これにより、離散とは限らない群の群C*環に値を持つ指数を読み取ることが可能になった他、B. Hanke と T. Schick のもとの議論では不可能であった、reduced 群C*環のK群に値をとる指数写像にも適用可能となった。同様に B.Hanke の次の結果「K-areaが無限大ならば、maxiaml 群C*環に値を持つ Rosenberg index が非ゼロである。」を reduced 群C*環に対しても拡張可能となった。