ゲージ理論における指数定理の役割

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位相演算子の時に重要であった量子変形のパラメタがq=exp[iθ]の形の場合の考察の一環として,Fock空間の計量と量子変形の問題を考察した.すなわち、上記の変形のパラメタの場合には一般にFock空間に負の計量が現れることが知られているが、振動子代数の変形において適切なCasimir演算子を導入することにより、この負の計量が除き得ることをまず指摘した.次いで,この負の計量が現れない振動子代数を2個用意し,J.Schwingerの処方箋に従いq-変形したsu(2)代数を構成すると,q-変形したsu(2)代数に更にある種のSchwinger項が加わることを見いだした.この余分な項は,上記のq-変形のパラメタの場合に負の計量が出ないと言う要請から必然的に現れたものであり、何らかの物理的な(および,あるいは数学的な)意味があるものと思われる.とりあえず,論文ではこの余分な項が物性物理学の可解模型の一つであるBloch電子問題の分析で,例えば,Hamiltonianの選択等に明快な意味付けを与えることを指摘した.この余分な項を含む拡大されたq-変形したsu(2)代数がHopf構造を持つか否かを現在研究中である.その他では,ゲージ場の量子化におけるGribovの問題と呼ばれるものをゲージ場の配位の大局的な振る舞いに基づいて考察した.これも一種の指数概念の応用と考えられる.