分割統治法の高度化による中間形行列に対する高性能固有値ソルバの実現

本研究課題では，分割統治法と呼ばれる行列の固有値計算手法の高度化に関する研究を行っている．分割統治法は実対称三重対角行列や半帯幅の小さい実対称帯行列などの行列の標準固有値および標準固有ベクトルを求める強力な固有値解法の一つである．最も古典的な三重対角行列向け分割統治法はデファクトスタンダード行列計算ライブラリLAPACK の固有値ソルバとして実装され，様々な科学技術計算ソフトウェアで広く使用されている．分割統治法はその重要性にもかかわらず，そのアルゴリズム中のデフレーションと呼ばれる処理の振る舞い，帯行列向け分割統治法における項の処理順序，分割ツリー生成における分割点の自由度の活用法など，十分明らかにされていない点が多数存在する．このため，これらの点を中心に分割統治法の性質を明らかにする必要がある．また，分割統治法の原理上，適用可能な行列は実対称三重対角行列や半帯幅の小さい実対称帯行列に限定されず，より広いクラスの行列に適用できる可能性がある．したがって，分割統治法の適用可能な新たな行列クラスの開発や，分割統治法の適用可能な行列クラスへの変形手法の研究により，分割統治法の応用範囲を拡大することも重要である．2022年度は，実対称帯行列を（分割統治法が適用可能な）半帯幅の小さい実対称帯行列に変換するアルゴリズムに関する研究を実施した．本研究では既存の変換アルゴリズムの計算量を決定するパラメータの厳密最適化が低いコストで実行可能であることを陽に示した．またそのようなパラメータの厳密最適化を行ったときの変換アルゴリズムの計算量および実行時間を最新の計算機で評価し，その有効性を明らかにした．

本研究課題では，分割統治法と呼ばれる行列の固有値計算手法の高度化に関する研究を行っている．分割統治法は実対称三重対角行列や半帯幅の小さい実対称帯行列などの行列の標準固有値および標準固有ベクトルを求める強力な固有値解法の一つである．最も古典的な三重対角行列向け分割統治法はデファクトスタンダード行列計算ライブラリLAPACK の固有値ソルバとして実装され，様々な科学技術計算ソフトウェアで広く使用されている．分割統治法はその重要性にもかかわらず，そのアルゴリズム中のデフレーションと呼ばれる処理の振る舞い，帯行列向け分割統治法における項の処理順序，分割ツリー生成における分割点の自由度の活用法など，十分明らかにされていない点が多数存在する．このため，これらの点を中心に分割統治法の性質を明らかにする必要がある．また，分割統治法の原理上，適用可能な行列は実対称三重対角行列や半帯幅の小さい実対称帯行列に限定されず，より広いクラスの行列に適用できる可能性がある．したがって，分割統治法の適用可能な新たな行列クラスの開発や，分割統治法の適用可能な行列クラスへの変形手法の研究により，分割統治法の応用範囲を拡大することも重要である．2022年度は，実対称帯行列を（分割統治法が適用可能な）半帯幅の小さい実対称帯行列に変換するアルゴリズムに関する研究を実施した．本研究では既存の変換アルゴリズムの計算量を決定するパラメータの厳密最適化が低いコストで実行可能であることを陽に示した．またそのようなパラメータの厳密最適化を行ったときの変換アルゴリズムの計算量および実行時間を最新の計算機で評価し，その有効性を明らかにした．