代数的多様体上の微分方程式

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ここ数年継続して本研究代表者の目的とする、代数多様体上の特異点をもつ微分方程式の研究においては、残念ながら特に進展は見られなかった。本来この研究の目指すものは、留教という局所的なデータと特性類という大域的データの関係を与えるいわゆる留数定理およびその逆を、一般の状況で調べることから始まったのであるが、完全積分可能系を対象とするとき、多様体の位相的な性質、特にその基本群が重要になる。どのような群が代数多様体(から因子を除いた残り)の基本群になりうるか、という問題は難しいが自由群の場合を調べているときに、前年度の業績報告書にも述べたような、フラクタル図形との関連が福産物として出てきたのである。階数2の自由群上の自己準同型から導かれたフラクタル曲線の研究は、そのエルゴード論的解釈も出来、ほぼ完成した。これは、自由群上の自己準同型という代表的なものの一般的性質の研究にも確率論的アプローチが可能であり、その接点がいわゆるフラクタルであるという点で非常に興味深いものである。この研究は本研究の共同研究者である伊藤俊次氏との共同研究である。この研究の発展を考えると、直接に続く話題として、実数の10進展開の類似としての複素数の展開がある。10進展開の両義的な点として有理数があるように、この複素数展開の両義的な点の集合があるが、ある状況ではそれをフラクタル曲線としてとらえることができる。この場合実数と違い、領域の複雑さに由来する困難があり、そこがまた面白い点でもある。また我々の結果は、いわゆる有限オートマトンの言葉にいいかえることもできるが、その方法が他のフラクタルの研究にも適用できるかどうかは問題である。我々は複素数の連分数展開について今後考えていくつもりである。