高次元多様体のminimal modelの研究

3次元代数多様体の存在証明がついに完結したが、そこではいわゆるフリップ=裏返し変換の存在を示すことが最後の難関となったのであった。今年度の研究では、フリップの存在の新しいアイデアによるはるかに単純明解な新証明を開発した。そこでは帰納法をフルに活用し、単純な場合のフリップから複雑な場合のそれを構成していく。このように、3次元のフリップはだいぶよく解ってきたが、今度は4次元のフリップの存在を調べようとすると、まず初めにタネになる単純なフリップが必要である。〔13〕では4次元で最も単純な場合についてフリップを構成した。高次元多様体論の基本的道具は小平型消滅定理であるが、服部は概複素多様体にこれを拡張した命題を予想し、次元が低い場合に実際にこれを得た。2次元多様体の分類は代数幾何的には一応完成しているが、その下に横たわる4次元微分可能多様体の構造には未知な部分が多い。上は楕円曲面の一般化であるSeifert 4 manifoldsについてその微分同相類を完全に決定した。また松本は特異ファイバーのまわりのmonodromyとして現われる閉曲面の微分同相写像を幾何学的に特徴づけることに成功した。高次元多様体の精密な構造をしらべるにはAbel Jacobi mapの解析が不可欠であるが、丸山は標数Pの体上の場合に興味ある結果を得た。

3次元代数多様体の存在証明がついに完結したが、そこではいわゆるフリップ=裏返し変換の存在を示すことが最後の難関となったのであった。今年度の研究では、フリップの存在の新しいアイデアによるはるかに単純明解な新証明を開発した。そこでは帰納法をフルに活用し、単純な場合のフリップから複雑な場合のそれを構成していく。このように、3次元のフリップはだいぶよく解ってきたが、今度は4次元のフリップの存在を調べようとすると、まず初めにタネになる単純なフリップが必要である。〔13〕では4次元で最も単純な場合についてフリップを構成した。高次元多様体論の基本的道具は小平型消滅定理であるが、服部は概複素多様体にこれを拡張した命題を予想し、次元が低い場合に実際にこれを得た。2次元多様体の分類は代数幾何的には一応完成しているが、その下に横たわる4次元微分可能多様体の構造には未知な部分が多い。上は楕円曲面の一般化であるSeifert 4 manifoldsについてその微分同相類を完全に決定した。また松本は特異ファイバーのまわりのmonodromyとして現われる閉曲面の微分同相写像を幾何学的に特徴づけることに成功した。高次元多様体の精密な構造をしらべるにはAbel Jacobi mapの解析が不可欠であるが、丸山は標数Pの体上の場合に興味ある結果を得た。