複素多様体の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

リーマン面、さらに一般に任意の可換環の上の代数曲線に対して、自由フェルミオンの共形場の理論を展開した。これは従来複素数上で展開されていたが、理論を任意の可換環の上で展開することによってその数学的本質が従来以上に明らかになりつつある。すなわち、物理学における弦理論を通じて、共形場の理論が数論的多様体と密接な関係があることが従来から指摘されていたが、我々の理論は数論的曲線上での共形場の理論を直接構成したことになっている。さらに、任意の可換環上で共形場の理論を展開する際に、ヴィット(Witt)概型が大切な役割を果たしたが、一方ではヴィット概型は可換形式群の理論と密接に関係している。我々の研究によって、共形場の理論も可換形式群と密接に関係していることが判明した。共形場の理論を構成するための基本的なデータ代数曲線とその上の点から自然にヴィット概型の座標環を構成することができ、形式群とヴィット概型を結びつけるカルティエ(Cartier)の定理が主張するヴィット概型から代数曲線のヤコビ多様体から出来る形式群への自然な写像を具体的に記述することに成功した。これはトポロジーにおける楕円種数の理論と密接に関係していることが期待されており、目下その性質を研究中である。以上の理論は自由フェルミオンという可換なゲージ場に関する共形場の理論に関してであったが、その後この理論を非可換ゲージ場に拡張することが一部可能になった。この理論は代数曲線のベクトル束のモジュライ空間や曲線の退化とモジュライ空間との関係などが関係しており、これを数論的曲線上で展開することが目下進行中である。