代数多様体の退化とゼータ関数

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代数多様体の中でも代数曲線は最も重要であり多くの研究が行われている。本研究では代数曲線のモジュライ空間とその退化に対応するモジュライ空間の境界に特に注目し研究を行った。代数曲線のモジュライ空間は共形場理論と関係し、この観点からのモジュライ空間の研究は従来あまりなされていなかった。共形場理論は本来理論物理学の理論であり、理論は複素体上で展開されている。研究代表者は非アーベル的共形場理論を有理数体上で展開した。これは、代数曲線のモジュライ空間が標数0では有理数体上で定義されていることに対応している。一方、代数幾何学では代数曲線のモジュライ空間は整数環Zで構成される。この点に関しては非アーベル的共形場理論を本質的に整数環Zで展開できることを示した。これは代表者が、以前、桂、清水と行ったアーベル的共形場理論の場合のある種の拡張になっている。このことにより、正標数の体上で共形場理論を展開することが可能なった。ただ、整数環上の理論から素数pでの還元を考えて理論を作り、直接正標数の体上で理論を構成できない点が理論を困難なものにしている。この点に関しては、対応すれベクトル束の理論でも類似の現象があり、その解明が待たれている。研究代表者の研究では、非アーベル的共形場理論と標数pの素体上で定義されたモジュライ空間のゼータ函数やモジュラー形式との関係は十分には解明することが出来ず今後の課題として残った。また研究協力者によってベクトル束のモジュライ空間の境界とベクトル束の退化に関して、さらにアーベル多様体の退化とエータ函数に関して興味ある結果が得られた。