擬微分作用素論とハミルトン作用素

数理物理学における基本的な偏微分方程式であるシュレディンガ-方程式、ディラック方程式などの研究に擬微分作用素論の手法を用いるのが本研究の目的である。相対論的あるいは非相対論的量子化ハミルトニアンの自己共役性に付いては、定数磁場を含む広いクラスの磁場ポテンシャルを持った場合でも擬微分作用素論の手法を用いて本質的自己共役性を示している。更に、磁場のベクトルポテンシャルが与えられている場合でも、相対論的ハミルトニアンに於いて粒子の質量を表すパラメ-タ-を無限大にしたときに、非相対論的ハミルトニアンにどの様に収束するかに付いても詳細な結果を得ており、これらは一昨年(平成元年)12月にタイペイで、更に昨年(平成2年)3月アメリカのアラバマ州のシンポジウムにおいて発表した。この主結果は論文として投稿中である。量子化ハミルトニアンのスペクトル解析に於いては、作用素の一般論から自己共役作用素の分数べきまたは複素数べきが大切な役割をなすことが知られているが、適当な条件のもとで擬微分作用素の複素数べきを構成することで相対論的または非相対論的量子化ハミルトニアンの複素べきを構成することにもほぼ成功した。これはシュレディンガ-方程式に対するスペクトル解析への応用が期待される。また、確率過程論において大切な研究課題であるレヴィ過程の生成作用素に現れるジャンプ過程を記述する作用素はラプラス作用素の分数べきとなるが、この作用素に対する初期値問題の基本解の構成のための作用素の分割定理を証明した。この定理も擬微分作用素論的にはより一般の定理を示すことが出来る。

数理物理学における基本的な偏微分方程式であるシュレディンガ-方程式、ディラック方程式などの研究に擬微分作用素論の手法を用いるのが本研究の目的である。相対論的あるいは非相対論的量子化ハミルトニアンの自己共役性に付いては、定数磁場を含む広いクラスの磁場ポテンシャルを持った場合でも擬微分作用素論の手法を用いて本質的自己共役性を示している。更に、磁場のベクトルポテンシャルが与えられている場合でも、相対論的ハミルトニアンに於いて粒子の質量を表すパラメ-タ-を無限大にしたときに、非相対論的ハミルトニアンにどの様に収束するかに付いても詳細な結果を得ており、これらは一昨年(平成元年)12月にタイペイで、更に昨年(平成2年)3月アメリカのアラバマ州のシンポジウムにおいて発表した。この主結果は論文として投稿中である。量子化ハミルトニアンのスペクトル解析に於いては、作用素の一般論から自己共役作用素の分数べきまたは複素数べきが大切な役割をなすことが知られているが、適当な条件のもとで擬微分作用素の複素数べきを構成することで相対論的または非相対論的量子化ハミルトニアンの複素べきを構成することにもほぼ成功した。これはシュレディンガ-方程式に対するスペクトル解析への応用が期待される。また、確率過程論において大切な研究課題であるレヴィ過程の生成作用素に現れるジャンプ過程を記述する作用素はラプラス作用素の分数べきとなるが、この作用素に対する初期値問題の基本解の構成のための作用素の分割定理を証明した。この定理も擬微分作用素論的にはより一般の定理を示すことが出来る。