非線形微分方程式の定性的研究

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物理学、化学、生物学等の自然科学の分野に現われる非線形現象を記述する数学モデルの中で反応拡散方程式が数多く提出されている。本研究テ-マでは、特に解の定性的性質を考察するために、慣性多様体理論を応用することから、ある種のクラスの方程式に対して大域的アトラクタ-としての不変多様体が有限次元であることを示し,そこの上での解軌導を記述する常微分方程式系を導出した。この結果を適用することから、数理生物学に現われる競合拡散方程式系の定常解の存在、安定性が領域形状にどのように依存するかを調べることに成功した。更に、この考え方を拡張することから、燃焼方程度の解の定性的性質を調べることが可能となった。そこで得られる結果は、もしも外部から燃料を補給するならば、適当な大きさの補給量に対して、温度に対応する解に弛緩振動のような振舞いをする時間周期解が現われることを示した。このような無限次元弛緩振動の存在はこれまで見つけられておらず、興味深い結果と思われる。一方、反応拡散方程式の解の挙動をパタ-ン形成の視点から考察するために、特異極限法が有効であることを示した。この結果は1991年国際応用工業数学会国際会議で招待構演として発表されている。