面型格子模型の量子群的構造

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研究代表者は近年通常の量子群の一般化である「面代数」の概念を導入し、その基本的性質を研究してきた。面代数は量子逆散乱法におけるL作用素の概念にその起源をもっており可解格子模型、共形場理論、低次元多様体論に密接に関連していることが期待される。特に作用素環論の一分野であるジョーンズ指数理論との関係は、前年度の研究により、やや間接的ながらあきらかになってきている。そこで今年度は、両者の関係をより深く理解する事を主要な目標として研究を押し進めた。その結果としてある種の部分因子環と面代数との間に一対一対応を確立することができた。雑な言い方をすれば、これは古典的なガロア対応における体を因子環に、群を面代数に置き換えたものである。但し、部分因子環の構成のためには、面代数の構造だけでは不十分であり、さらに複素共役に相当する演算の存在と、それに関するある種の正定値性を仮定する必要がある。そこで、研究代表者は新たにコンパクト面代数の概念を導入し、不変測度などその抽象調和解析的構造を研究した。とりわけ、ヴォロノヴィッツがコンパクト量子群に対して存在を示したある種の線型汎関数の一般化は、面代数の表現の量子次元や量子トレースの基礎となるものであり、部分因子環論以外にも、結び目の不変量などへの応用が期待される。一方、部分因子環からの面代数の構成には、オクニャ-ニュによる部分因子環の分類理論、とりわけグラフ上の平坦接続の理論が本質であり、その表現論的な意味を明らかにできたことも本年度の大きな収穫であった。