低次元位相幾何、部分因子環と面代数

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本年度の研究の成果として、次の二つの結果が得られた。(1)三次元多様体の量子SU(2)-不変量のリンクダイアグラム上の状態和表示SU(2)-型のRSOS模型のL-作用素のなす打数の代数的構造を面代数の概念を用いて記述することにより、その代数の表現の全体が、トゥラ-エフの意味でユニタリモデュラー圏になっていることを示した。これはこの面代数からユニタリな位相的場の量子論が、したがって特に三次元多様体の位相不変量が得られることを意味している。さらに、この面代数の表現を基底を固定して具体的に記述することにより、三次元多様体の量子SU(2)-不変量をリンクダイアグラム上の状態和で表示する方式を得た。これにより、量子不変量とRSOS模型との直接的な関係が確立されたことになる。(2)格子模型から量子群を構成する一般的な方法の開発スペクトルパラメーターを持たないvertex型の格子模型から量子半群(余準三角双代数)を構成する手法はFRT構成として良く知られており、また、それは、以前研究代表者により面型格子模型に適用できるように拡張されている。そこで、量子群から量子群を構成する方法を確立すればよいわけであるが、研究代表者はこれをある種の二重接合積を用いることで達成した。またこの構成法の普遍性、群的元による局所化との関係などを示した。今後このようにして得られる量子群の実構造を調べていくことにより、たとえばスピン模型から部分因子環を構成することが、可能になるのではないかと期待している。