界面ダイナミクスに関わる発展方程式の広義解の研究

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本研究における第一の目的は,結晶成長や混相流体の問題などにあらわれる,界面の発展方程式の初期値・境界値問題に対する,時間大域的な“広義解"の存在と一意性に関して既に知られている定理を,より多くの実際的なケースに対して拡張することであった。我々の方法では,まず適当な補助関数を導入することによって,与えられた界面方程式を特異点のある退化放物型方程式に変形する。それに対して,粘性解の理論を応用することによって,界面方程式の広義解を定義するのである。今年度の研究においては,界面の時間発展が界面の曲率テンソルについて優線形の場合の初期値問題に対して,次のような成果を得た。界面方程式が界面の曲率テンソルについて優線形の場合には,非常に強い特異性をもった退化放物型方程式があらわれる。この特異性のために,一般の粘性解に対しては比較定理がこれまでと同じようには成り立たないので,そのままでは粘性解の理論を応用することが出来ない。そこで,我々は“等高面の有限成長速度"という概念を新たに導入することによって粘性解のクラスを制限し,そのクラスに属する粘性解に対して比較定理を証明した。そしてその結果を用いて,我々の問題に対して“広義解"を定義し,その存在と一意性に関する定理を得た。また技術的な側面から見ると,新しい概念が導入されたことによって,等高面の成長速度を評価するための方法と,粘性解の構成方法に関して,新たな手法を開発することにもなった。以上の成果は論文にまとめられ,Differential and Integral Equations誌に近日中に掲載される予定である。