界面ダイナミクスにかかわる非線形発展方程式の広義解の研究

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本研究の目的は,界面形成とその形状変化に関する発展方程式(界面方程式)の初期値・境界値問題の時間大域的な広義解について詳しく考察することであった。この場合の広義解とは,界面の定義関数に粘性解の理論を応用して定義されるものである。第一の問題は,界面方程式が界面の主曲率について非線形の場合の考察であった。これについては,昨年度にすでに報告した初期値問題の広義解の存在と一意性に関する最初の結果に続くまとまった成果は得られていない。界面方程式の広義解に対する考察を深めるために,ある反応拡散方程式の解の特異極限として捉えなおそうとする研究がある。方程式が界面の主曲率について線形の場合の広義解については,最初にH.M.Sonerらによって初期値問題について証明された。それはM.A.Katsoulakisらによって境界値問題に拡張されたが,彼らの考える領域の形状は非常に制限されたものであり,この面での改良が望まれていた。今年度の研究における第二の問題は,領域の形状を制限することなしにH.M.Sonerらと同様の結果を証明し,それを手がかりに広義解の性質を調べることであった。これには,界面方程式のある特殊ないくつかの性質をもった解を構成することが鍵になると思われたので,境界付近において距離関数を変形することなどをこころみたが,全ての条件を満足するものは得られなかった。そのような理由で,本年度は十分な研究成果を得ることが出来なかった。従って論文による研究発表はない。