代数多様体の分岐被覆

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当研究のテーマは代数多様体のGalois分岐被覆,特にGalois群が非可換有限群であるのもの効果的な,つまり具体的に実行可能な構成方法を与えることとその方法を用いてできる代数多様体の研究であった.このテーマに関し今年度得られた成果は以下の通りである.これらはすべて論文On dihedral Galois coveringにおいて研究したことや,それ以前の研究をより発展させたものである.1.Preprint,A remark on Bartolo's paperではBartoloにより明確に定義されたZariski pairというものに関して研究を行なった.ここで行なわれていることは彼が論文Sur les couples de Zariskiで紹介した例に別証を与えている.手法はdihedral Galois coveringの手法を用いたもので彼の手法とは全く異なっている.この論文は現在投稿中である.2.dihedrla Galois coveringの手法を用いて新しい6次曲線のZariski pairをいくつか構成した.さらにそれを用いれば無限個の系列がえられるのではないかという見通しも立っている.Zariski pairに関してはZariski以来殆ど研究されていないようであったがここにきて一気に研究が進みつつある.3.Perssonが定義したmaximizing sexticに関しそれに沿って分岐するdihedral Galois coveringについて研究した.特に曲線が既約な場合はGalois群が3次対称群であるような分岐被覆が存在するための十分条件を与えた.これらの曲線Cは,P^2での補空間P^2＼Cの基本群が非可換群となるような有理曲線の例となっている.このような曲線の組織的な研究は去年度からの続いた研究目的であり,それに関し,ひとつのまとまった結果がえられたと言える.これらの結果のうちいくつかは城崎での代数幾何学シンポジウムで報告した.2,3の結果に関する論文は現在準備中である.4.2面体群以外の有限群例えば4元数群をGalois群に持つGalois被覆については,関数体のGalois拡大を標準的に構成する部分でdihedral Galois coveringとかなり異なることがわかった.この部分をうまくクリアするべく研究中である.