Makroskopische Dynamik in diskreten Gittern
离散晶格中的宏观动力学
基本信息
- 批准号:5276052
- 负责人:
- 金额:--
- 依托单位:
- 依托单位国家:德国
- 项目类别:Priority Programmes
- 财政年份:2000
- 资助国家:德国
- 起止时间:1999-12-31 至 2007-12-31
- 项目状态:已结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
The aim of this project is to study partial differential equations whose solutions display several spatial scales. In particular we are interested in systems which develop fast spatial oscillations whose macroscopic behavior has to be described. We want to treat parabolic as well as hyperbolic problems. In particular, methods are to be developed which allow to characterize the set of all Young-measure solutions to a given evolutionary problem. Moreover, the time evolution of such measures will be investigated. Roughly spoken there are three different cases.(1) In spatially one-dimensional semilinear wave equations spatial oscillations can be transported on arbitrarily small scales; no small parameter is needed. The theory is well understood with classical Young-measures in the case of at most two characteristic speeds. We want to develop methods using nonlocal correlations which allow for the description of systems with more than two characteristic speeds. This is even an open problem in the linear setting.(2) In dispersive wave equations the theory of Modulation equations is well understood. Under quite General conditions the evolution of wave packets can be described by an amplitude equation like the nonlinear Schrödinger equation. We want to connect this theory to the theory of Young-measure solutions, which very likely will also give new relations to microscopic equations in semiconductor theory.(3) Parabolic problems usually damp out spatial oscillations on small scales. However, there are situations where a small parameter e makes these oscillations favorable. This parameter e gives the ratio between the small and the large spatial scale. In the limit e>0 we obtain a macroscopic evolution equation which may be either hyperbolic or parabolic. In particular we want to treat the case which is usually studied in the Ginzburg-Landau formalism for modulation equations.
本项目的目的是研究偏微分方程,其解决方案显示几个空间尺度。特别是,我们感兴趣的系统开发快速的空间振荡的宏观行为必须加以描述。我们既要处理抛物问题,也要处理双曲问题.特别是,要开发的方法,允许一组的所有杨测度的解决方案,以一个给定的进化问题的特征。此外,这些措施的时间演变将进行调查。粗略地说,有三种不同的情况。(1)在空间一维半线性波动方程中,空间振荡可以在任意小尺度上传播,不需要小参数。在至多两个特征速度的情况下,该理论可以很好地理解经典的杨氏测度。我们希望开发的方法,使用非本地相关性,允许描述系统的两个以上的特征速度。这甚至是线性设置中的一个公开问题。(2)在色散波方程中,调制方程的理论是很好理解的。在相当一般的条件下,波包的演化可以用类似于非线性薛定谔方程的振幅方程来描述。我们想把这个理论与杨测度解理论联系起来,杨测度解很可能也会给半导体理论中的微观方程带来新的关系。(3)抛物问题通常会减弱小尺度上的空间振荡。然而,存在小参数e使这些振荡有利的情况。这个参数e给出了小空间尺度和大空间尺度之间的比率。在极限e>0时,我们得到一个宏观发展方程,它可以是双曲型的,也可以是抛物型的。特别是,我们要处理的情况下,通常是研究在金斯堡-朗道形式主义的调制方程。
项目成果
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