複素領域における1階非線型偏微分方程式の分岐解

复域一阶非线性偏微分方程的分岔解

• 批准号: 08640249
• 负责人: 亀谷 睦
• 金额: $ 0.32万
• 依托单位: Maizuru National College of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640249/
• 关键词: 1階偏微分方程式; 非線型偏微分方程式; 複素領域における偏微分方程式; 分岐解; 可積分ハミルトン系の摂動

R^<n+1>の複素近傍Ωにおいて、次のような1階非線型偏微分方程式の初期値問題を考える:(1)F(x,∂_xu)=0,u(0,x′)=〓(x′),x=(x_0,x′)∈Ω(⊆C×C^n).Fと〓は、R^<n+1>の余接束E=T^*R^<n+1>およびR^n上の(実数値)実解析的関数とする。関数Fが、ある関数F_0と微小摂動F^^〜の和F=F+F^^〜である場合を考え、次の仮定(2)〜(6)を置く:(2)F_0をハミルトニアンとするハミルトン系は(実解析的な)可積分系である。すなわち、E上の(実数値)実解析的関数F_1,…,F_nが存在して、Eの各点でdF_0∧…∧dF_n≠0かつ{F_i,F_j}=0(0【less than or equal】i,j【less than or equal】n)が成立する。ただし、{F,G}=Σ^^n__<j=0>(].SU.[)である。次に、c=(c_0,…,c_n)∈R^<n+1>に対し(F_0,…,F_n)のレベル集合M_cをM_c=∩^^n__<j=0>F^<-1>_j(c_j)で定めるとき、(3)R^<n+1>の開集合UでU∩{c_0=0}≠φを満たすものが存在して、M_c(c∈U)はコンパクト。(4)あるc^^-∈U∩{c_0=0}とX^^-=(x^^-,ξ^^-)∈(].SU.[)が存在し、(].SU.[)と(].SU.[)とは横断的に交わる。(5)〓が定めるEの部分多様体S〓={(x,ξ)∈E:x_0=0,ξ′=∂_<x′>〓(x′)}も、(].SU.[)と横断的に交わる。仮定(2)〜(4)の下で、正準写像Φ:(q,p)→(x,ξ)で各pを固定する毎にq→Φ(q,p)があるM_cの普遍被覆になるものが存在し、引き戻しG_0=Φ^*F_0はpのみの関数になる。このG_0(p)について(6)(].SU.[)(ここで、A^Tは行列Aの転置行列を表す。)定理:仮定(2)〜(6)の下で、レベル集合の合併(].SU.[)のある複素近傍Wにおいて摂動F^^〜の大きさ<sup>___W|F^^〜(x,ξ)|が十分小さいとき、(1)の解のΩ上への解析接続は無限多価になる。

R^<n+1> is a complex prime near Ω. The initial value problem of the first order nonlinear partial differential equation is investigated as follows:(1)F(x,_xu)=0,u(0,x′)=(x′),x=(x_0,x′)∈Ω(C×C^n).F, R^<n+1> and its co-bundle E=T^*R^<n +1> R^n. The relations F, F_i,F_j}=0(0 [less than or equal] i,j [less than or equal] n).ただし、{F,G}=Σ^^n__<j=0>(].SU. [)である。C=(c_0,...,c_n)∈R^&lt;n+1&gt; for (F_0,...,F_n) and M_c=&lt;$^n_&lt;j=0&gt;F^<-1>_j(c_j) are the open set of R ^&lt;n +1&gt; and U &lt;${c_0 = 0} are the open set of R^&lt;n+1&gt; and U &lt;${c_0=0} are the open set of F ^ _j(c_j) and M_c(c∈U) is the open set of R^&lt;n+1&gt; and U &lt;${c_0=0} is the open set of F ^_j (c_j). (4)あるc^^-∈U∩{c_0=0}とX^^-=(x^^-,ξ^^-)∈(].SU. [)有&lt;$,(].SU. [)と(].SU. [00:00:00] The cross section. (5)S ={(x, Φ)∈E:x_0=0, Φ ′=_&lt;x′&gt;(x′)},(].SU. [00:00:00] The cross section. For the following conditions (2)~(4), the correct and accurate images Φ:(q,p)→(x, Φ), where p is fixed, q→Φ(q,p) and M_c are generally covered.このG_0(p)について(6)(].SU. [)(ここで、A^Tは行列Aの転置行列を表す。) Theorem: Set (2)~(6) under [] <sup>|F^^〜(x,ξ)| The solution of (1) is very small, and the solution of (1) is infinite.