非線形現象に対する微分及び関数方程式による研究

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本研究は、多様な数学的側面を持つ非線形常、偏微分方程式、関数方程式を、非線形現象の数理モデルとして、以下の観点から研究することを目的とするものである。1.開放形と閉じた系(または保存系)との数理モデルとしての数学的記述及び解構造間の相互関係を調べる。2.非線形方程式の解のプロファイル(時空間パターンなど)の研究。3.時間発展方程式の漸近挙動や安定性の解析。4.非線形可積分系に対する代数的取り扱いによる解の漸近解析。5.量子力学の数学的記述に関する再検討と非線形モデルのみなおし。1,2に関して、非線形場中の膜モデルを記述する保存系の退化型方程式の解を分岐理論を用いて解析した。今まで、球対称解に限ってそのプロファイルや退化の次数がわかっていたが、今回は、球対称性などの幾何学的情報が期待できない、一般領域上の解に対してそのregularity評価を行い分岐解をとらえることができた。なお、開放形との相互関係に関しては、適切な開放形モデルを構成することを含め、今後の課題となる。3に関しては、すでに確立された伝統的な方法が効果を示した。まず、遅れのある微分方程式について、高次元の場合のスペクトル分布を調べ、解のアトラクターを具体的に求めることができた。波動現象を記述する非線形波動方程式の初期値境界値問題に対する時間大域的-意解の存在及び非存在、さらに解が減衰する場合にはそのオーダーの詳しい解析ができた。また力学系の立場からの解析では、従来強横断性を持つ公理A微分同相全体が写像全体で開集合をなすことが知られていたが、特異点を持つような一般の写像に対しても同様な結果が成り立つことがわかった。4は現在十分整理できていない。5は、主に数学的基盤の整理に研究の中心が推移した。各種フーリエ微分超関数の概念を定義し、それによってフーリエ超関数の特異性の分解し、特異性スペクトルを調べるだけでフーリエ超関数の定性的及び定量的研究ができるようになった。以上のように各項目に進展がみられた。また一方現象論との有機的な関連に関してはまだ多くを今後の課題とする。