高周波漸近解析に基づいた非線形偏微分方程式の研究

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昨年度に引き続き、消散型の非線形項を伴うシュレディンガー方程式についての研究をChunhua Li氏、佐川侑司氏と共同で行った。昨年度は主に1次元ユークリッド空間において非線形項の次数が3次の場合の解の時刻無限大におけるL^2減衰レートについて考えてきたが、今年度はその高次元化を主目標として研究を進めた。関連する研究を行っている北直泰氏、佐藤拓也氏らと情報交換を行い、空間次元が2で非線形項の次数が2である場合または空間次元が3で非線形項の次数が5/3である場合には、おそらく最適と思われるL^2減衰レートの下限を導くことができた。北氏と佐藤氏はこのことを背理法に基づいた(間接的な)論法で証明しているが、我々は漸近解析の手法に基づいたより直接的な別証明を考案中である。来年度もこの研究を継続し、成果を論文にまとめて学術雑誌へ投稿する予定である。なお、空間次元が4以上である場合には全く手がついておらず、今後の課題である。また、上記の成果とは別に、弱い消散構造を伴う非線形シュレディンガー方程式に関するLi氏、佐川氏および西井良徳氏との共同研究に基づくここ数年の一連の研究成果を“Recent advances on Schrodinger equations with dissipative nonlinearities”と題するサーベイ論文にまとめ、小澤徹教授の還暦記念研究集会のプロシーディングに寄稿した。