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Enumeration of Graph Coverings and Their Generalization

图覆盖的枚举及其泛化

基本信息

批准号：
11640145
负责人：
SATO Iwao
金额：
$ 1.09万
依托单位：
Oyama National College of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2002
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11640145/
关键词：
graph covering enumeration 皮覆グラフ

项目摘要

We consider four objects in enumeration of graph coverings and their generalization : enumeration of regular coverings ; enumeration of g-cyclic A-covers ; lifts of automorphisms of symmetric digraphs; zeta functions of regular coverings.The general problem of counting the ismorphism classes of regular n-fold coverings of a graph G with respect to a group Γ of automorphisms of G is still unsolved except in the case that n is prime. The enumeration of Γ-isomorphism classes of regular p^n-fold coverings of G is a natural problem. A regular p^2-fold covering of G is either a Z_p×Z_p-covering or a Z_<p2>-covering of G. We enumerate the Γ-isomorphism classes of Z_p×Z_p-coverings of G.Furthermore, we show that it is possible to count the Γ-isomorphism classes of Z_p^n-coverings of G for any prime p(>2) and any 3≦n≦p.Next, for a connected symmetric digraph D, a finite group A and g∈A, we consider a g-cyclic A-cover of D as a generalization of a regular covering of a graph. We enumerate the Γ-isomorphism classes of g-cyclic Z_p×Z_p-covers and g-cyclic Z_p^3-covers of D. In the case that A is an abelian group, we present a characterization for two g-cyclic A-covers of D to be ismorphic with respect to a group Γ of automorphisms of D. Thus, we enumerate the I-isomorphism classes of g-cyclic Z_2^n-covers and g-cyclic Z_<2n>-covers of D.For a group Γ of automorphisms of a symmetric digraph D, we present a necessary and sufficient condition for Γ to have a lift with respect to a cyclic A-cover of D, and characterize the lift of Γ to be a split extension of A by Γ.As an application of a decomposition formula for the characteristic polynomial of a regular covering of a graph G, we obtain a factorization of the zeta function of a regular covering of G. Furthermore, we factorize the zeta function of a g-cyclic A-cover of a symmetric digraph.

我们考虑图覆盖的枚举及其泛化中的四个对象：常规覆盖的枚举； g-循环A-覆盖的枚举；对称有向图的自同构的提升；正则覆盖的 zeta 函数。除 n 为素数的情况外，计算图 G 的正则 n 重覆盖相对于 G 的自同构群 Γ 的同构类的一般问题仍未解决。 G 的正则 p^n 重覆盖的 Γ 同构类的枚举是一个自然问题。 G 的规则 p^2 重覆盖要么是 G 的 Z_p×Z_p-覆盖，要么是 Z_<p2>-覆盖。我们枚举 G 的 Z_p×Z_p-覆盖的 Γ 同构类。此外，我们证明对于任何素数 p(>2) 和任何 3≤n≤p。接下来，对于连通对称有向图D、有限群A和g∈A，我们将D的g循环A-覆盖视为图的正则覆盖的推广。我们枚举了 D 的 g-循环 Z_p×Z_p-covers 和 g-cycl Z_p^3-covers 的 Γ-同构类。在 A 是交换群的情况下，我们给出了 D 的两个 g-循环 A-covers 相对于 D 的自同构群 Γ 同构的表征。因此，我们枚举了 D 的 g-循环 Z_2^n-覆盖和 g-循环 Z_<2n>-覆盖。对于对称有向图 D 的自同构群 Γ，我们给出了 Γ 对于 D 的循环 A-覆盖具有升力的充要条件，并将 Γ 的升力刻画为 A 的分裂扩展。作为特征分解公式的应用图 G 的正则覆盖的多项式，我们得到 G 的正则覆盖的 zeta 函数的因式分解。此外，我们对对称有向图的 g-循环 A-覆盖的 zeta 函数进行因式分解。