断面幾向種数による偏極多様体の分類と応用についての研究

(X,L)を複素数体上定義されたn次元偏極多様体とする.今年度の課題は,第2断面幾何種数g_2(X,L)や第2断面H-算術種数χ^H_2(X,L)等を用いて,代数曲面において知られている結果をn次元偏極多様体(X,L)の場合に一般化できるかについて調べることであった.特に次の問題について主に考えた.1.(Castelnuovoの不等式の偏極多様体版)κ(K_X+(n-2)L)【greater than or equal】0のときχ^H_2(X,L)【greater than or equal】0が成立するか?2.(Miyaoka-Yauの不等式の偏極多様体版)κ(K_X+(n-2)L)【greater than or equal】2のとき9χ^H_2(X,L)【greater than or equal】(K_X+(n-2)L)^2L^<n-2>が成立するか?これらに関して以下のような成果を得た.上記1について:n=3,Lが一般の豊富な因子,κ(K_X+L)【greater than or equal】0のとき,χ^H_2(X,L)>0が成立することを示した.またこの結果の応用としてBeltramettiとSommeseにより予想された問題を3次元の場合に解決することに成功した.それは以下のような結果である:K_X+2Lがnefならばh^0(K_X+2L)>0が成り立つ.さらにK_X+2Lがnefかつh^0(K_x+2L)=1なる3次元偏極多様体(X,L)の分類を得ることもできた.(これらについては早稲田大学,津山高専でおこなわれた研究集会で発表した.)上記2について:次のことが示せた.n【greater than or equal】3かつκ(X)【greater than or equal】0のとき12χ^H_2(X,L)>(K_X+(n-2)L)^2L^<n-2>が成立する.

(X,L)を複素数体上定義されたn次元偏極多様体とする.今年度の課題は,第2断面幾何種数g_2(X,L)や第2断面H-算術種数χ^H_2(X,L)等を用いて,代数曲面において知られている結果をn次元偏極多様体(X,L)の場合に一般化できるかについて調べることであった.特に次の問題について主に考えた.1.(Castelnuovoの不等式の偏極多様体版)κ(K_X+(n-2)L)【greater than or equal】0のときχ^H_2(X,L)【greater than or equal】0が成立するか?2.(Miyaoka-Yauの不等式の偏極多様体版)κ(K_X+(n-2)L)【greater than or equal】2のとき9χ^H_2(X,L)【greater than or equal】(K_X+(n-2)L)^2L^<n-2>が成立するか?これらに関して以下のような成果を得た.上記1について:n=3,Lが一般の豊富な因子,κ(K_X+L)【greater than or equal】0のとき,χ^H_2(X,L)>0が成立することを示した.またこの結果の応用としてBeltramettiとSommeseにより予想された問題を3次元の場合に解決することに成功した.それは以下のような結果である:K_X+2Lがnefならばh^0(K_X+2L)>0が成り立つ.さらにK_X+2Lがnefかつh^0(K_x+2L)=1なる3次元偏極多様体(X,L)の分類を得ることもできた.(これらについては早稲田大学,津山高専でおこなわれた研究集会で発表した.)上記2について:次のことが示せた.n【greater than or equal】3かつκ(X)【greater than or equal】0のとき12χ^H_2(X,L)>(K_X+(n-2)L)^2L^<n-2>が成立する.