代数的位相幾何学を用いた閉曲面上のグラフについての研究

申請者は,これまでの研究において,同一の閉曲面の2つの四角形分割がある局所的変形で移り合うかどうかを議論している.この研究において,閉曲面Fに四角形分割Gを固定すると,FのZ_2-ホモロジーの元(サイクルパリティーと呼ぶ)が定まることがわかり,2つの四角形分割が局所的変形で移りあうためには,このサイクルパリティーが等しいことが本質的であることがわかった.一方,閉曲面の偶三角形分割にも,四角形分割のサイクルパリティーと同様に,基本群からS_3への準同型写像(モノドロミーと呼ぶ)で、2つの偶三角形分割がある局所的変形を用いて移り合えば,それが等しくなるようなものが定義できることもわかっていた.平成15年度の研究において,閉曲面の偶三角形分割(各頂点の次数が偶数の三角形分割)に対して,N-変形と呼ばれる変形を定義し,「球面の2つの偶三角形は,その3部グラフとしての部集合の大きさがそれぞれ等しければ,N-変形で互いに移り合う」ことを証明することができた.さらに,本年度の研究により,この定理を,任意の閉曲面上の十分の頂点数が大きい3-染色的な偶三角形分割について,拡張することに成功した.(つまり,モノドロミーが自明な場合に目標を達成できた.)しかしながら,定理中の頂点数の条件に三角不等式による制約がついてしまった,この制約を取り除くことができれば,この定理から2部グラフ的四角形分割の対角変形の定理を導くことができることがわかる.今後の課題としては,この制約を取り除くこと,さらに,偶三角形分割のN-変形の定理を一般のモノドロミーの場合に解決することである.

申請者は,これまでの研究において,同一の閉曲面の2つの四角形分割がある局所的変形で移り合うかどうかを議論している.この研究において,閉曲面Fに四角形分割Gを固定すると,FのZ_2-ホモロジーの元(サイクルパリティーと呼ぶ)が定まることがわかり,2つの四角形分割が局所的変形で移りあうためには,このサイクルパリティーが等しいことが本質的であることがわかった.一方,閉曲面の偶三角形分割にも,四角形分割のサイクルパリティーと同様に,基本群からS_3への準同型写像(モノドロミーと呼ぶ)で、2つの偶三角形分割がある局所的変形を用いて移り合えば,それが等しくなるようなものが定義できることもわかっていた.平成15年度の研究において,閉曲面の偶三角形分割(各頂点の次数が偶数の三角形分割)に対して,N-変形と呼ばれる変形を定義し,「球面の2つの偶三角形は,その3部グラフとしての部集合の大きさがそれぞれ等しければ,N-変形で互いに移り合う」ことを証明することができた.さらに,本年度の研究により,この定理を,任意の閉曲面上の十分の頂点数が大きい3-染色的な偶三角形分割について,拡張することに成功した.(つまり,モノドロミーが自明な場合に目標を達成できた.)しかしながら,定理中の頂点数の条件に三角不等式による制約がついてしまった,この制約を取り除くことができれば,この定理から2部グラフ的四角形分割の対角変形の定理を導くことができることがわかる.今後の課題としては,この制約を取り除くこと,さらに,偶三角形分割のN-変形の定理を一般のモノドロミーの場合に解決することである.