非結合的な単純代数の構造論

特別研究員は、昨年度に引き続き、受け入れ研究者と共同で自己入射多元環の高次元Auslander-Reiten理論を研究した。多元環の表現論では、有限表現型と呼ばれる、直既約加群を有限個しか持たないクラスが重要である。箙(クイバー)の道多元環(pathalgebra)に対しては、古典的なGabrie1の定理によって、有限表現型とはADE型のディンキン箙に他ならないことが知られている。一方、道多元環とは別の重要なクラスとして、有限群の群環や0次元の可換Gorenstein環をはじめとする自己入射多元環(selfinjective algebra, Frobenius algebra)がある。自己入射多元環に対しては、Riedtmannによって有限表現型の分類がなされており、それらはADE型ディンキン箙の傾多元環(tilted algebra)の、反復多元環(repetitive algebra)の自己同型による軌道圏であることが知られている。高次元Auslander-Reiten理論においては、有限表現型多元環の高次元化であるn有限表現型多元環が重要である。これはn団傾加群(n-cluster tilting module)と呼ばれる特別な加群を持っことによって定義されるクラスであり、通常の有限表現型とは1有限表現型に他ならない。大域次元がnであるn有限表現型多元環は、簸の道多元環の高次元化を与えるものであり、受け入れ研究者やHerschend, Oppermannによってポテンシャル付き箙や前射影多元環を用いて研究されている。特別研究員は受け入れ研究者と共同で、〃有限表現型であるような自己入射多元環の一般的な構成方法を発見した。具体的には「τ-n有限性」を満たす多元環の反復多元環の自己同型による軌道圏が、n有限表現型の自己入射多元環であることを証明した。n1の場合、τ_1有限性とは、ADE型ディンキン箙であることに他ならないため、我々の構成は、上で述べたRiedtmamの構成の一般化とみなされる。現時点で知られているn有限表現型の自己入射多元環はすべて、この方法により再構成することが可能であり、さらに数多くの新しい例を得ることができる。現在、これらの研究成果をまとめた論文を準備中である。

特別研究員は、昨年度に引き続き、受け入れ研究者と共同で自己入射多元環の高次元Auslander-Reiten理論を研究した。多元環の表現論では、有限表現型と呼ばれる、直既約加群を有限個しか持たないクラスが重要である。箙(クイバー)の道多元環(pathalgebra)に対しては、古典的なGabrie1の定理によって、有限表現型とはADE型のディンキン箙に他ならないことが知られている。一方、道多元環とは別の重要なクラスとして、有限群の群環や0次元の可換Gorenstein環をはじめとする自己入射多元環(selfinjective algebra, Frobenius algebra)がある。自己入射多元環に対しては、Riedtmannによって有限表現型の分類がなされており、それらはADE型ディンキン箙の傾多元環(tilted algebra)の、反復多元環(repetitive algebra)の自己同型による軌道圏であることが知られている。高次元Auslander-Reiten理論においては、有限表現型多元環の高次元化であるn有限表現型多元環が重要である。これはn団傾加群(n-cluster tilting module)と呼ばれる特別な加群を持っことによって定義されるクラスであり、通常の有限表現型とは1有限表現型に他ならない。大域次元がnであるn有限表現型多元環は、簸の道多元環の高次元化を与えるものであり、受け入れ研究者やHerschend, Oppermannによってポテンシャル付き箙や前射影多元環を用いて研究されている。特別研究員は受け入れ研究者と共同で、〃有限表現型であるような自己入射多元環の一般的な構成方法を発見した。具体的には「τ-n有限性」を満たす多元環の反復多元環の自己同型による軌道圏が、n有限表現型の自己入射多元環であることを証明した。n1の場合、τ_1有限性とは、ADE型ディンキン箙であることに他ならないため、我々の構成は、上で述べたRiedtmamの構成の一般化とみなされる。現時点で知られているn有限表現型の自己入射多元環はすべて、この方法により再構成することが可能であり、さらに数多くの新しい例を得ることができる。現在、これらの研究成果をまとめた論文を準備中である。