多元環の表現論。特にクイバー表現のテンサー積と導来圏

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箙(クイバー)の道多元環は、Dynkin型と非Dynkin型の場合で表現論が大きく異なる。古典的なGabrielの定理は、Dynkin型の道多元環は有限表現型であり、非Dynkin型の道多元環は無限表現型である事を主張する。道多元環は、ホモロジー代数的には大域次元が1以下である事で特徴付けられるが、受け入れ研究者は高次元Auslander-Reiten理論の研究において、大域次元がnである多元環の特別なクラスとして「n有限表現型」と呼ばれるものを導入した。1有限表現型多元環とは、Dynkin型の道多元環の事に他ならない。n有限表現型多元環からは(n+1)前射影多元環が構成されるが、これは有限次元自己入射的多元環であり、安定圏が(n+1)-Calabi-Yau三角圏となる非常に興味深い対象である。本年度は昨年度に引き続き、特別研究員(Herschend)との共同研究において、2有限表現型多元環を研究した。特に2有限表現型多元環を、自己入射的なポテンシャル付きクイバーの切断ヤコビ多元環として特徴付ける構造定理を与えた。さらにポテンシャルの自己入射性が中山軌道に沿った変異で保たれることを示し、その応用として数多くの2有限表現型多元環を構成することに成功した。これらの結果は、論文「Selfinjective quivers with potential and 2-representation-finite algebras」(Compositio Mathematicae誌に掲載予定)にまとめられている。以上はn有限表現型多元環に関する研究であるが、「n無限表現型多元環とは何か?」という問いが重要な課題として残されている。本年度は、特別研究員(Herschend)およびOppermannとの共同研究において、n無限表現型多元環の定義を与え、その基本的な性質を明らかにするとともに、具体例を構成する方法を与えた。この研究は現在も続行中である。