作用素環論の低次元トポロジーへの応用

本年度は,(2+1)-次元位相的場の理論(以下,TQFT)の位相的性質を調べることに重点をおいて研究を行った.具体的には,TQFTが幾何学的量子化から得られるというAxelrod-della Pietra-Wittenの結果を参考にして,位相的性質を導くことを試みた.しかしながら,3次元多様体の位相不変量に関しては,コボルディズムを利用している以上,なかなか位相的な性質を導くことは困難であることがわかった.そこで,視点を変えて,3次元多様体をうまい具合(特異点がないように)にモース関数で切断して,その切断面である2次元閉曲面に複素構造を入れてリーマン面と思って,その上の平坦接続のなすモジュライ空間に着目した.このモジュライ空間上には自然なシンプレクティック形式が存在するので,それを用いて量子化をする.そこからうまく数値を作り出さなければならないのだが,まだうまくいっていないのが現状である.もし,適切な値を抽出できたならば,それを各切断面ごとに寄せ集めれば,3次元多様体の位相不変量を得ることができるはずであり,これがTQFTと整合性をもつものと考える.上記のアイディアを実現するためには,modular functorについてよく調べる必要があるのかもしれない.Modular functorからTQFTが得られることは知られている.一方,subfactorからTQFTを構成する際も実質的にはmodular functorを経由している.したがって,modular functorから意味のある位相幾何学的情報を取り出すことが今後の課題となる.

本年度は,(2+1)-次元位相的場の理論(以下,TQFT)の位相的性質を調べることに重点をおいて研究を行った.具体的には,TQFTが幾何学的量子化から得られるというAxelrod-della Pietra-Wittenの結果を参考にして,位相的性質を導くことを試みた.しかしながら,3次元多様体の位相不変量に関しては,コボルディズムを利用している以上,なかなか位相的な性質を導くことは困難であることがわかった.そこで,視点を変えて,3次元多様体をうまい具合(特異点がないように)にモース関数で切断して,その切断面である2次元閉曲面に複素構造を入れてリーマン面と思って,その上の平坦接続のなすモジュライ空間に着目した.このモジュライ空間上には自然なシンプレクティック形式が存在するので,それを用いて量子化をする.そこからうまく数値を作り出さなければならないのだが,まだうまくいっていないのが現状である.もし,適切な値を抽出できたならば,それを各切断面ごとに寄せ集めれば,3次元多様体の位相不変量を得ることができるはずであり,これがTQFTと整合性をもつものと考える.上記のアイディアを実現するためには,modular functorについてよく調べる必要があるのかもしれない.Modular functorからTQFTが得られることは知られている.一方,subfactorからTQFTを構成する際も実質的にはmodular functorを経由している.したがって,modular functorから意味のある位相幾何学的情報を取り出すことが今後の課題となる.