パンルヴェ型微分方程式と無限次元可積分系

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本年度は主に,ワイル群の非線形表現の代数幾何的構成とパンルヴェ方程式・無限可積分系の関係についての研究を行った.パンルヴェ方程式の一つの起源にある種の有理曲面上のアフィンワイル群の双有理表現がある.昨年度はそれを代数幾何的な手法を用いて,アフィン型とは限らないワイル群の表現に拡張した.今回はさらに曲面とは限らない,高次元のある有理代数多様体に擬正則写像として作用するワイル群の双有理表現を構成することに成功した.対応するルート系は曲面の場合に比べて,より一般なものを扱える.特に対称なアフィン型の場合を網羅しており,離散可積分系としても興味ある対象である高階q-パンルヴェ方程式を生成する.得られたワイル群作用は全てトロピカル(全正値双有理写像による)表現であり,超離散極限を経て,組み合わせ論的な対応物を許す.さらに曲面上の因子の規格化された定義多項式を考察することから,タウ函数(高さ関数のある種の類似)が構成される.いくつかのアフィン型の場合については,タウ函数を通してKP階層やUC階層などの無限可積分系との直接の関係を明らかにすることができた.UC階層とは,以前に研究代表者自身が,普遍指標と呼ばれるシューア多項式の一般化を特徴付けるために構成した新しい可積分系であり,その自然なq-類似としてq-UC階層がある.今回は未知の懸案であったq-UC階層の付随する線形問題(ラックス形式)を構成した.ひとつの応用として,ソリトン解を許すような新しい非線形発展方程式が得られる.この結果を端緒として今後UC階層の数理物理的視点からの研究の進展も期待される.