パンルヴェ方程式による連分数の高速計算アルゴリズム

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整数,有理数係数の連分数を計算する方法としてBinary Splitting Algorithm(以下,BSA法)が存在する.本研究計画にあるように,BSA法を用いた連分数の計算アルゴリズムをC言語の任意多倍長計算ライブラリGNU MPを用いてプログラムの実装を行った.次に第2種パンルヴェ方程式について対応する連分数の係数を有理式で表し,先のBSA法を用いた連分数の計算アルゴリズムに載せた.また,パンルヴェ方程式を用いた連分数の計算アルゴリズムの高性能化のため次のようなことを行った.本研究では,パンルヴェ方程式のベックルント変換を連分数の係数を生成する変換群として用いているが,本来,ベックルント変換は有理式から新たな有理式を導くものである.BSA法を用いる際に,有理式から新たな有理式を導く変換のまま扱っていたのでは,記憶領域や計算速度の点で良好な性能が得られているといい難く,さらなる改良として以下を考案した.連分数の計算アルゴリズムとして高速化するために,有理式から有理式の変換と扱うものではなく,その分母,分子式について着目し分母,分子から新たな分母,分子を導く変換とみなし,計算のステップごとに分母,分子をまとめてゆく方法を考案し,実装した.この方法とただ有理式を用いて連分数を計算する方法を実装したプログラムを動作させ比較し,こちらの方法が記憶領域や計算速度の点で優れていることを確認した.