フォンノイマン環の部分環および自己同型写像の研究

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本年度は昨年度に引き続き、フォンノイマン環とその上の自己同型写像の研究を行った。近年、主にPopaによって離散群のベルヌーイシフトに付随した接合積フォンノイマン環について目覚しい成果が得られている。それらの文献を入念に調べた。Popaの理論の鍵となる点は、この接合積フォンノイマン環内では、カルタン部分環と群環の位置にある意味で自由度が全くないという点である。その点を特に入念に調べた。そしてまとめとして、京都大学数理解析研究所においてPopaの剛性理論についてのサーベイ講演を行い、それを報告集にまとめた。Popaの剛性理論の研究に付随して、以下のような問題を考察した。ベルヌーイシフトとは最初にフォンノイマン環をひとつ取ってきてそれを無限個並べるので、このフォンノイマン環が何らかの剛性を持っていると、接合積でできあがるフォンノイマン環は相対的剛性を持つ。相対的剛性がおこるのは、このような場合しかありえないというのが私の予想である。残念ながら解決には至らなかったが、どの部分が技術的に問題であるのかははっきりさせることができた。今後も引き続いて考察するつもりである。一方、昨年度からずっと考察している、作用素論の問題にも引き続き挑戦した。作用素環は作用素の集まりであるから、当然本研究題目とも関連する。考察した問題は、作用素の三角不等式の等号成立条件についてである。現時点では2個の作用素についてのみ解けているのであるが、一般の個数について考察を行った。当初は3個以上の場合は、かなり特殊な状況下ですら肯定的解決は無理だと考えていたが、今年度の研究で、ある仮定の下では3個の場合で証明できるのではと考えている。しかし未だに最終結論には至っていない。この研究に関して、国際研究集会での講演を行った。