非線形偏微分方程式の双対構造と補償されたコンパクト性

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SU(3)戸田方程式系、非定符号渦点系の平均場方程式などのLiouville systemに関するblow-up analysis、即ち、非コンパクトな解の列の極限の分類に継続して取り組んだ。Liouville systemとは、指数型非線形項をもつ非線形楕円型偏微分方程式系(連立方程式)の総称だが、新たな知見として、上記2種のLiouville systemに対して、先の2年間で得られていた結果を精密にし、解の列のコンパクト性が成立するパラメータ領域を拡げることができた('07 J.Differ.Equ.,'06 Banach Center Publications)。またこれらの結果と、これらが変分問題を考察する上で有用であることなどを報告した('07数理解析研究所講究録)。3年間に亘り偏微分方程式の双対構造に着目した解析に取り組んできたが、それにより得られることと、それ以外の手法が必要な部分との差が認識されつつあるように思われる。例えば上記の結果は、楕円型評価などの古典的評価から得られる段階、双対構造により得られる巨視的な評価から得られる段階、尺度変換による微視的評価から得られる段階、という3段階を経て得られるが、形式的には、簡明な双対構造による評価の段階でより良い結果が得られることが認識されている。残念ながらその正当化には至らず、難解な尺度変換を用いて、部分的な結果を得るに留まった。本研究課題に取り組んだことにより、今後の研究方針が定まったといえる。それは、Liouville systemという幅広い応用をもつ方程式系に対し、双対構造により得られる巨視的な評価を阻害する原因となっている、方程式系の解の集中現象の成分間の干渉・衝突の解明である。このことが明確になったことも、成果といえる。