Study on asymptotic solutions of Hamilton-Jacobi equations based on the theory of viscosity solutions

基于粘性解理论的Hamilton-Jacobi方程渐近解研究

基本信息

批准号：
18540165
负责人：
YASUHIRO Fujita
金额：
$ 2.6万
依托单位：
University of Toyama
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2006
资助国家：
日本
起止时间：
2006 至 2008
项目状态：
已结题

项目摘要

まず,領域がn次元ユークリッド空間全体のとき, Ornstein-Uhlenbeck作用素を含むHamilton-Jacobi方程式の解の時間無限大での漸近解への収束の様子を明らかにした. 続いて,このHamilton-Jacobi方程式からOrnstein-Uhlenbeck作用素の粘性項が消去された場合に,漸近解への収束の様子を明らかにした. 前者は確率制御理論への応用を持っている. 後者は, Aubry-Mather理論に基づく解の表現を新たに与えることを可能にした.次に,領域がn次元ユークリッド空間全体のとき, Hamilton-Jacobi方程式の解の時間無限大での漸近解への収束率を遅くする要因がAubry集合の幾何学的な性質と初期値の下限との関係であることを明らかにした. これは,従来の研究が漸近解への収束のみを考えるものであった点から,収束率を遅くする要因を明らかにしたと言う点で一歩踏み込んだ研究と考えられる.その他として, 上記研究に関連して2つの研究成果が得られた. ひとつは, 相加相乗の不等式, ヘルダーの不等式,ヒルベルトの不等式の証明をAubry-Mather理論により導くというものである. もうひとつは, Ornstein-Uhlenbeck作用素がポアンカレの不等式においてどのような役割を果たしているかについて明らかにしたものである.

首先，我们已经揭示了汉密尔顿 - 雅各比方程的溶液在时间无限的时间内包含Ornstein-Uhlenbeck操作员的溶液的收敛性，而Ornstein-Uhlenbeck操作员的粘度项被从Hamilton-Jacobi方程式中消除。前者对概率控制理论有应用。后者使我们能够根据Aubry-Ather理论提供解决方案的新表示。接下来，我们透露，当汉密尔顿 - 雅各比方程的溶液在时间无限时的溶液溶液的溶液速率当Ornstein-Uhlenbeck操作员的粘度项从汉密尔顿 - 雅各比方程中消除时。我们已经揭示了Aubry集的几何特性与初始值的下限之间的关系。这被认为是一项更高级的研究，因为它揭示了降低收敛速率的因素，因为先前的研究仅考虑融合渐近解决方案。此外，与上述研究有关的其他两个研究结果。一个是，奥布里·梅瑟（Aubry Mather）理论将获得添加剂协同作用，海尔德（Helder）不平等和希尔伯特（Hilbert）不平等的不平等的证明。另一个是，庞加莱的Ornstein-Uhlenbeck操作员不平等的作用。