力学系に対する厳密な位相-計算的方法

动力系统的精确拓扑计算方法

基本信息

批准号：
06F06039
负责人：
國府寛司
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2006
资助国家：
日本
起止时间：
2006 至 2007
项目状态：
已结题

项目摘要

前年度に引き続き,ユークリッド空間のコンパクト集合上で定義された連続写像の定める力学系の多重パラメータ族の解析のための計算的方法を開発し,そのアルゴリズムとそれに関するいくつかの技術的問題を研究した.力学系の相空間の離散化は,ある固定した長方形格子に分割し,各格子長方形の像の格子を考えることで,元の写像を組み合わせ多価写像による囲い込みとして得られる,このような囲い込みは区間演算を用いた精度保証付き計算によって計算機で求められる.さらにこの組み合わせ多価写像を有向グラフとして表現することで,DFS(深さ優先探索)などの高速のグラフアルゴリズムを用いて力学系のConley-Morse分解が計算できる.それぞれのMorse集合に対する力学系的性質についての情報はそれらのConley指数として得られるが,その計算において,誘導される準同型写像の計算に工夫が必要となる.これは[P.Pilarczyk,K.Stolot]によって最近,確立した.力学系のパラメータ族における以上のような構造の持続性や変化をしらべるために,C++による効率的なアルゴリズムも開発した,それを用いるとMorse分解が計算され,そのパラメータの変化による持続性が計算機によって自動的に証明され,分岐についての情報が得られる.ここではCAPDライブラリやCHomPライブラリなどの高度なプログラムが用いられている.これを年齢構造を持つ生物個体数モデルとして知られるLeslieモデルに適用し,この方法の有効性を検討した.この結果については目下,論文を準備中である,一方で,このような力学系のグラフ表現に写像の微分の情報を付加することにより,より精密な力学系の情報が得られることがある.このようなアイディアに基づいて,区間上の2次関数の定める力学系の臨界点近傍の外での一様な拡大性を,上述のような計算機援用解析により示した.この結果は現在,投稿中である.

从上一年开始，我们开发了一种计算方法，用于分析由紧凑的欧几里得空间集中定义的连续图定义的机械系统的多个参数，并研究了算法及其相关的几个技术问题。机械系统中相位空间的离散化分为固定的矩形晶格，并考虑每个网格矩形图像的晶格，并且可以通过组合多价图来作为外壳获得原始地图。此类外壳是基于使用间隔计算保证精度的补偿器。此外，通过将此组合多价图作为有向图表示，可以使用高速图算法（例如DFS）（深度优先搜索）来计算动态系统的Conley-Morse分解。可以作为其Conley指数获得有关每个Morse集合的动态系统属性的信息，但是在此计算中，有必要发明诱导同构的计算。这是[P.Pilarczyk，K.Sto最近的一家公司]。为了检查动态系统参数中结构的持久性和变化，还开发了一种使用C ++的有效算法。使用此情况，计算了Morse分解，并且计算机会自动证明由于参数的变化而引起的持久性，并获得了有关分支的信息。使用高级程序，例如CAPD库和CHOMP库。这是许多具有年龄结构的活生物体。我们将其应用于被称为模型的Leslie模型，并检查了该方法的有效性。我们目前正在准备有关此结果的论文，同时将MAP的差异信息添加到此类机械系统的图表表示中，可以获得有关机械系统的更精确信息。基于这样的思想，我们使用上述计算机辅助分析在间隔上在二次函数上定义的机械系统临界点附近的均匀放大倍数。目前正在提交此结果。