大自由度系のダイナミクスと分岐の研究のための位相的および厳密な計算的方法

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偏微分方程式の平衡解に対する厳密な計算的方法を2次元と3次元の領域におけるSwift-Hohenberg方程式やCahn-Hillard方程式に適用した.より具体的に,論文[1]では,Marcio GameiroとJean-Philippe Lessard(Rutgers University,USA)はこの方法を高次元の偏微分方程式に適用して,2次元と3次元のSwift-Hohenberg方程式,およびCahn-Hillard方程式の平衡解の存在を示した.また,この方法を用いて高次元領域での偏微分方程式の平衡解のなめらかな分枝を計算する方法を提示し,それを2次元と3次元のCahn-Hilliard方程式に応用し,さらに,2次元のSwift-Hohenberg方程式の孤立分枝の2次分岐の検証に用いた.その過程で,論文[1]の方法の改良も与え,2次元のSwift-Hohenberg方程式については,精密な計算結果も与えた.Conley指数とグラフ・アルゴリズムを組み合わせた力学系の解析方法も与えた.この研究では,特に回帰的不変集合をグラフのサイクルとして分解して,その不変部分集合やその間の結合軌道を検証する方法を提示した.また,Pawel Pilarczyk(University of Minho,Portugal)と共同で,この方法を大域結合写像系やLeslieモデルに適用した.また,この方法を利用して,パラメータ空間構造の変化と実際の力学系の分岐との関係を考察した.特に,荒井迅(北大),Tomas Gedeon(Montana State University,USA),Konstantin Mischaikow(Rutgers University,USA),岡宏枝(龍谷大)との共同研究で,サドルノード分岐についてこの観点から詳細に調べた.