無限群の幾何的理論の研究

余次元1葉層葉層の定量的理論として葉層同境の理論があり、葉層同境不変量としてGodbillon-Vey不変量が知られていた。Godbillon-Vey不変量は、実はC^<L,Vβ>級(β<2)という微分可能性をもつ葉層構造に対して定義できることを示し、このような葉層構造の族の中で、次のようなGodbillon-Vey不変量を葉層同境による特徴付けを得た。定理。向きづけられた3次元多様体M上の向きづけられた余次元1葉層FのGodbillon-Vey不変量が0であること(M,F)が零同境の葉層構造の極限と同境になることは同値。さらに高次元多様体上の余次元1葉層構造についてはその有理性、非有理性についての問題を研究した。S^3×S^3上の葉層構造に対して、Godbillon-Vey特性類(a,b)∈R【symmetry】R【similar or equal】H^3(S^3×S^3)を考えると、葉層の変形に際してa/bは不変に保たれることがわかる。横断的に区分線型なS^3×S^3上の葉層構造に対するGodbillon-Vey特性類(a,b)については、a/bは有理数または∞であることを示した。一方、S^3×S^3上のC^<L,V1>級という微分可能性をもつ余次元1葉層構造では、GV特性類(a,b)が、a/bとして任意の無理数を取り得ることを示した。3次元多様体の余次元1葉層の種数2以上のコンパクト葉の安定性について研究し、Bonatti-Firmoによりこれまで知られていたC^0級位相による不安定性を改良し、C^1級位相による不安定性を示した。そのために種数2以上の閉曲面の基本群の局所微分同相の芽のなす群への表現が可換な表現に摂動できることを示した。Sergiescu氏と共同で、いろいろな位相的に等質空間の位相同型群について研究し、各次元のメンゲ普遍コンパクト空間の位相同型群はホモロジー的に自明であることを示した。佐藤篤之氏と共同で曲面上の円周束のファイバーに横断的な接触構造を研究し、このような接触構造の存在のための円周束のオイラー類についての必要十分条件を示した。これは、独立にGhys-Girouxによっても得られるている。

余次元1葉層葉層の定量的理論として葉層同境の理論があり、葉層同境不変量としてGodbillon-Vey不変量が知られていた。Godbillon-Vey不変量は、実はC^<L,Vβ>級(β<2)という微分可能性をもつ葉層構造に対して定義できることを示し、このような葉層構造の族の中で、次のようなGodbillon-Vey不変量を葉層同境による特徴付けを得た。定理。向きづけられた3次元多様体M上の向きづけられた余次元1葉層FのGodbillon-Vey不変量が0であること(M,F)が零同境の葉層構造の極限と同境になることは同値。さらに高次元多様体上の余次元1葉層構造についてはその有理性、非有理性についての問題を研究した。S^3×S^3上の葉層構造に対して、Godbillon-Vey特性類(a,b)∈R【symmetry】R【similar or equal】H^3(S^3×S^3)を考えると、葉層の変形に際してa/bは不変に保たれることがわかる。横断的に区分線型なS^3×S^3上の葉層構造に対するGodbillon-Vey特性類(a,b)については、a/bは有理数または∞であることを示した。一方、S^3×S^3上のC^<L,V1>級という微分可能性をもつ余次元1葉層構造では、GV特性類(a,b)が、a/bとして任意の無理数を取り得ることを示した。3次元多様体の余次元1葉層の種数2以上のコンパクト葉の安定性について研究し、Bonatti-Firmoによりこれまで知られていたC^0級位相による不安定性を改良し、C^1級位相による不安定性を示した。そのために種数2以上の閉曲面の基本群の局所微分同相の芽のなす群への表現が可換な表現に摂動できることを示した。Sergiescu氏と共同で、いろいろな位相的に等質空間の位相同型群について研究し、各次元のメンゲ普遍コンパクト空間の位相同型群はホモロジー的に自明であることを示した。佐藤篤之氏と共同で曲面上の円周束のファイバーに横断的な接触構造を研究し、このような接触構造の存在のための円周束のオイラー類についての必要十分条件を示した。これは、独立にGhys-Girouxによっても得られるている。