3次元多様体とその基本群の研究

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研究の目的は3次元多様体上の種々の構造と基本群の関係を明らかにすることである。これらに関しては、3次元多様体の基本群の表示と幾何学的群論、3次元多様体の基本群のリー群への表現空間の位相などの研究が行われている。我々は、3次元多様体上の種々の構造に着目して、ラミネーションや葉層構造、3次元多様体への群作用、亜群作用のダイナミクスとの関係、3次元多様体の基本群がさまざまな形で円周の同相群や曲面の同相群に作用する様子などを特に重点的に研究する。本年度は、自由群などの無限群の代数的な取り扱いについての研究を整理し、3次元多様体の基本群との関連を調べた。ストーリングスや、ジェイコ-シャーレン-ヨハンソンによる非圧縮曲面の研究、曲面の写像類群の研究においても、写像類群の曲面の基本群への作用、サーストンによる3次元多様体の幾何学化予想についての知られている結果を整理した。また、自由群の外部自己同型群の有限部分群については、キュラーツィンマーマンにより、自由群と同じ階数を持つ有限グラフへ作用することが知られていたが、その作用が効果的である条件がワン-ツィンマーマンにより知られていた。これにより、自由群の外部自己同型群の有限部分群の最大位数の評価が得られていたが、さらに有限可換部分群に対しそれを精密に評価し、最大位数を与える外部自己同型の有限可換部分群の性質を明らかにした。それらは、位数2または4の群の直積となる。また、自由群の外部自己同型群の巡回部分群の最大位数を評価した。