ｄｅｌ　ＰｅｚｚｏファイブレーションとＦａｎｏ多様体の研究

いままでに私は、非特異射影曲線上の次数6のdel Pezzoファイブレーションに対して、付随する被覆を構成し、さらに判別式公式と線形切断定理を確立した。本年度は、より一般化された状況である、非特異代数多様体から正規代数多様体へのファイブレーションであって、反標準因子が相対的に豊富かつ一般ファイバーが次数6のdel Pezzo曲面であるものについて、線形切断定理が成り立つかを調べた。この状況においても、付随する二重被覆と三重被覆は構成できる。私はこれらの被覆を用いて判別式公式を得た。さらにファイブレーションが有理切断を持つのであれば、底空間から余次元2の閉集合を除いた開集合上で、一般ファイバーが$(\mathbb{P}^{1})^{3}$、もしくは$(\mathbb{P}^{2})^{2}$となるファイブレーションに線形切断として埋め込めることを示した。これらの結果は、前年度までに得られた結果の一般化である。ただし、この「有理切断を持つ」という条件は非常に強い条件であり、一般には成り立たない。私は底空間が射影平面である状況で、有理切断が存在する条件を研究した。その結果、以下の定理を得た：「$f \colon X \to \mathbb{P}^{2}$を次数$6$のdel Pezzoファイブレーションとする。$f$の全てのファイバーはDu Val特異点のみ持ち、$X$のPicard数は$2$とせよ。$L$を$f$による直線の引き戻しとする。このとき、$(-K_X)^{3} L \geq 30$であれば、$f$は有理切断を持つ。」証明は、最近Kuznetsov氏により得られた結果と、上述した判別式公式を使うことで得られた。この定理は有理性に簡明な数値的判定法を与えるという点で一定の価値を持つ。またこの条件を満たす新しい3つの具体例を、4次元の向井多様体を爆発することで構成した。

いままでに私は、非特異射影曲線上の次数6のdel Pezzoファイブレーションに対して、付随する被覆を構成し、さらに判別式公式と線形切断定理を確立した。本年度は、より一般化された状況である、非特異代数多様体から正規代数多様体へのファイブレーションであって、反標準因子が相対的に豊富かつ一般ファイバーが次数6のdel Pezzo曲面であるものについて、線形切断定理が成り立つかを調べた。この状況においても、付随する二重被覆と三重被覆は構成できる。私はこれらの被覆を用いて判別式公式を得た。さらにファイブレーションが有理切断を持つのであれば、底空間から余次元2の閉集合を除いた開集合上で、一般ファイバーが$(\mathbb{P}^{1})^{3}$、もしくは$(\mathbb{P}^{2})^{2}$となるファイブレーションに線形切断として埋め込めることを示した。これらの結果は、前年度までに得られた結果の一般化である。ただし、この「有理切断を持つ」という条件は非常に強い条件であり、一般には成り立たない。私は底空間が射影平面である状況で、有理切断が存在する条件を研究した。その結果、以下の定理を得た：「$f \colon X \to \mathbb{P}^{2}$を次数$6$のdel Pezzoファイブレーションとする。$f$の全てのファイバーはDu Val特異点のみ持ち、$X$のPicard数は$2$とせよ。$L$を$f$による直線の引き戻しとする。このとき、$(-K_X)^{3} L \geq 30$であれば、$f$は有理切断を持つ。」証明は、最近Kuznetsov氏により得られた結果と、上述した判別式公式を使うことで得られた。この定理は有理性に簡明な数値的判定法を与えるという点で一定の価値を持つ。またこの条件を満たす新しい3つの具体例を、4次元の向井多様体を爆発することで構成した。