多変数マーラー測度の研究

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多変数のマーラー測度は多変数多項式に対して多重トーラス上の積分で与えられる数値であるが、多項式の族に対してはそのパラメータに関する関数と考えることができる。黒川信重(東京工業大学)との共同研究で、井草型の多変数のオイラー積を導入し、解析接続、特殊値などを研究した。また、同じく黒川との共同研究では、ヒルベルト行列の交代行列版の固有値分布を研究した。これらの対象はリーマン予想を反自己共役作用素の行列式と表示するHilbert-Polyaの思想圏内にあるものの、対称行列版は良く研究されているが交代行列版は研究が少ない。しかしむしろ、非自明な固有値の規則性が交代行列版に観察されることを指摘し、種々の予想を提唱した(出版済み)。将来の研究を促す点で意義あると考えている。また、伊吹山知義(大阪大学)、葛巻孝子(岐阜大学)との共同研究では、ジーゲル保形形式に働く定数係数の偏微分作用素の特殊関数的な表示を企図し、研究を進めた。柏原Vergneの重複度自由の設定を活かし、変数分離の長い計算を経て、BC型のルート系に付随する帯球函数との関係づけが得られるというところまでを一般の階数で導出した。対応する保型L函数の特殊値を求める際にこれらの具体形が応用されることが動機であるが、それらの研究者に応用可能な形で論文を執筆する最終の段階にある。Zunderiya Uuganbayar(名古屋大学)との共同研究では、関口英子(東京大学)によって拡張された多変数超幾何微分方程式系の研究を推し進め、非ホロノミー系であるという予想の解決(フルランクあるいは行列サイズが4以上の場合)、次元の組み合わせ的(Kostka数)表示などを与えた。論文は投稿中である。